Limites

Introducción.

Aunque implícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos XVII y XVIII, la notación moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta. Sin embargo, su trabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haber expresado la esencia de la idea, pero no de una manera sistemática. La primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en los 1850 y 1860 y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con límites.

Por ello, mas adelante estaremos hablando y dando ejemplos de temas relacionados con límites. Como por ejemplo: definición, teoremas, límites laterales infinitos, asíntotas, entre otros.

Desarrollo

1. El concepto de Límite:

x f(x)

2,8 7,84

2,9 8,41

2,95 8,7025

2,99 8,9401

2,999 8,994001

3,001 9,006001

3,01 9,0601

3,05 9,3025

3,1 9,61

3,2 10,24

Consideremos la función f(x)=x2.

Observemos los valores de f(x) para x cercanos a 3.

Cuando x se aproxima a 3, los valores de f(x) se acercan a 9. Se dice que f(x) tiende a 9 cuando x tiende a 3.

En general, una función f(x) tiende a un límite b cuando x tiende a a, si f(x) difiere arbitrariamente poco de b para todo x situado suficientemente cerca de a.

En símbolos, limx->af(x)=b.

Enseguida se expresa más precisamente la definición de límite.

2. Teoremas:

Un teorema es una afirmación que puede ser demostrada dentro de un sistema formal. Demostrar teoremas es un asunto central en la matemática.

Un teorema generalmente posee un número de premisas que deben ser enumeradas o aclaradas de antemano. Luego existe una conclusión, una afirmación matemática, la cual es verdadera bajo las condiciones dadas. El contenido informativo del teorema es la relación que existe entre la hipótesis y la tesis o conclusión.

 Teorema de la función comprendida:

Si una función está comprendida entre otras dos que tienen igual límite cuando x tiende a a, entonces tiene el mismo límite.

H) limx->af(x) = limx->ag(x) = b

Existe δ1 > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ1 f(x) <= h(x) <= g(x)

T) limx->ah(x)=b

 Teorema de la acotación:

Si una función tiene límite finito cuando x tiende a a, entonces está acotada en un entorno reducido de a.

H) limx->af(x)=b

T) Existe δ > 0 y existen h y k reales / para todo x perteneciente al E*a,δ h < f(x) < k

3. Limites laterales:

Obsérvese que sobre la recta real estamos en condiciones de acercarnos a una valor particular de x bien sea por valores más grandes (a la derecha) o por valores más pequeños (a la izquierda). Debido a que existen funciones que no se comportan del mismo modo a la izquierda y a la derecha de un valor dado, el concepto de límite lateral puede ayudarnos a dilucidar este tipo de comportamiento. Consideremos por ejemplo la función parte entera de x o escalón unitario (usada frecuentemente para exponer la idea de límites laterales), denotada por E(x) y que se define de la siguiente forma

E(x) = [x], donde [x] es el mayor número entero inferior o igual a x, tal que, E(x) ≤ x < E(x) + 1.

Su curva es una sucesión de segmentos horizontales a distintas alturas. Consideremos ahora un valor entero particular, por ejemplo 1. En la medida en que nos acercamos a 1 por la izquierda nos damos cuenta que los sucesivos valores de E(x) son iguales a cero, y en la medida en que nos acercamos a 1 por la derecha los valores son iguales a uno. La idea de acercarnos sucesivamente a un valor es la que introduce la noción de límite lateral. A continuación introduciremos las nociones formales de los límites laterales por izquierda y por derecha.

 Límites laterales por la derecha y por la izquierda:

Límite de f(x) en el punto a por la derecha :

limx->a+f(x)=b <=> para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a,a + δ) |f(x) - b| < ε.

Límite de f(x) en el punto a por la izquierda :

limx->a-f(x)=b <=> para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a - δ,a) |f(x) - b| < ε.

Nota: x->a+ indica que x tiende a a por la derecha, es decir que x pertenece al entorno (a, a + δ).

x->a- indica que x tiende a a por la izquierda, es decir que x pertenece al entorno (a - δ,a).

A veces las funciones son discontinuas o no están definidas en un punto a, pero son continuas a uno y otro lado. En estos casos, el límite por la izquierda puede ser distinto del límite por la derecha.

Ejemplo

f(x) = x2 si x <= 2

-2x + 1 si x > 2

limx->2-f(x)=4

limx->2+f(x)=-3

No existe limx-

4. Límites infinitos:

Considere que simplemente los valores de 0, 1, 2, 3, 4,5.... Permitiendo de esta manera que crezca o decrezca pero sin dejar atrás la definición de limite entonces en conclusión se podría determinar que

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