Metodos Cuantitativos

PROBLEMA #1 Minimizar la función f(x, y)=2x+8y sometida a las restricciones:

Llamando, respectivamente r, s y t a las rectas expresadas en las tres últimas restricciones, la zona de soluciones factibles sería:

Siendo los vértices:

A intersección de r y t:

B intersección de s y t:

C intersección de r y s:

Siendo los valores de la función objetivo en ellos:

Alcanzándose el mínimo en el punto C.

PROBLEMA #2 Un herrero con 80 kgs. de acero y 120 kgs. de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente a 20.000 y 15.000 Bolívares cada una para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1 kg. De acero y 3 kgs de aluminio, y para la de montaña 2 kgs. de ambos metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña venderá?

Sean las variables de decisión:

x= n: de bicicletas de paseo vendidas.

y= n: de bicicletas de montaña vendidas.

Tabla de material empleado:

Acero Aluminio

Paseo 1 3

Montaña 2 2

Función objetivo:

f(x, y)= 20.000x+15.000y máxima.

Restricciones:

Zona de soluciones factibles:

Vértices del recinto (soluciones básicas):

A(0, 40)

B intersección de r y s:

C(40,0)

Valores de la función objetivo en los vértices:

Ha de vender 20 bicicletas de paseo y 30 de montaña para obtener un beneficio máximo de 850.000 Bolívares.

PROBLEMA #3 Un autobús Caracas-Maracaibo ofrece plazas para fumadores al precio de 10.000 Bolívares y a no fumadores al precio de 6.000 Bolívares. Al no fumador se le deja llevar 50 kgs. de peso y al fumador 20 kgs. Si el autobús tiene 90 plazas y admite un equipaje de hasta 3.000 kg. ¿Cuál ha de ser la oferta de plazas de la compañía para cada tipo de pasajeros, con la finalidad de optimizara el beneficio?

Sean las variables de decisión:

x= n: de plazas de fumadores.

y= n: de plazas de no fumadores.

La Función objetivo:

f(x, y)=10.000x+6.000y máxima

Restricciones:

Zona de soluciones factibles:

Vértices:

A(0, 60)

B intersección de r y s:

C(90, 0)

Valores de la función objetivo:

Ha de vender 90 plazas para fumadores y ninguna para no fumadores y así obtener un beneficio máximo de 900.000 bolívares.

PROBLEMA #4 A una persona le tocan 10 millones de bolívares en una lotería y le aconsejan que las invierta en dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A tienen más riesgo pero producen un beneficio del 10 %. Las de tipo B son más seguras, pero producen sólo el 7% anual. Después de varias deliberaciones decide invertir como máximo 6 millones en la compra de acciones A y por lo menos, 2 millones en la compra de acciones B. Además, decide que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. ¿Cómo deberá invertir 10 millones para que le beneficio anual sea máximo?

Sean las variables de decisión:

x= cantidad invertida en acciones A

y= cantidad invertida en acciones B

La función objetivo es:

Y las restricciones son:

La zona de soluciones factibles es:

Siendo los vértices del recinto:

A intersección de u,t:

B intersección de r,u:

C intersección de r,s:

D intersección de s,t:

La función objetivo toma en ellos los valores:

Siendo la solución óptima invertir 6 millones de bolívares en acciones tipo A y 4 millones en acciones tipo B

PROBLEMA #5 Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 Bs.. por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 Bs. por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120 y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿Cuántos impresos habrá que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo?

Sean las variables de decisión:

x= n: de impresos diarios tipo A repartidos.

y= n: de impresos diarios tipo B repartidos.

La función objetivo es:

f(x, y)=5x+7y

Las restricciones:

La zona de soluciones factibles es:

Vértices:

A(0, 100)

B intersección de s,t:

C intersección de r,t:

D (120, 0)

Siendo los valores de la función objetivo:

Debe repartir 50 impresos tipo A y 100 tipo B para una ganancia máxima diaria de 950 bolívares.

PROBLEMA #6 Un comerciante acude al mercado popular a comprar naranjas con 50.000 Bs. Le ofrecen dos tipos de naranjas: las de tipo A a 50 Bs el kg. y las de tipo B a 80 Bs. el kg. Sabiendo que sólo dispone de su camioneta con espacio para transportar 700 kg. de naranjas como máximo y que piensa vender el kg. de naranjas tipo A a 58 ptas. y el kg. de tipo B a 90 ptas., contestar justificando las respuestas:

a. ¿Cuántos kg. de naranjas de cada tipo deberá comprar para obtener máximo beneficio?

b. ¿Cuál será ese beneficio máximo?

Sean las variables de decisión:

x= kg. de naranjas tipo A comprados.

y= kg. de naranjas tipo B comprados.

La función objetivo que da el beneficio es:

Y las restricciones:

La zona de soluciones factibles es:

Y los vértices:

A(0, 625)

B intersección de r,s:

C(700, 0)

Y en ellos la función objetivo toma los valores:

Ha de comprar 200 kgs. de naranjas A y 500 kgs. de naranjas B para obtener un beneficio máximo de 6.600 bolívares

PROBLEMA #7 Un sastre tiene 80 m2 de tela de algodón y 120 m2 de tela de lana. Un traje requiere 1 m2 de algodón y 3 m2 de lana, y un vestido de mujer requiere 2 m2 de cada una de las dos telas. Calcular el número de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar los beneficios si un traje y un vestido se venden al mismo precio.

1. Sean las variables de decisión:

x= número de trajes.

y= número de vestidos

a= precio común del traje y el vestido.

Función objetivo:

Restricciones:

Zona de soluciones factibles:

Vértices:

A(0, 40)

B intersección de r y s:

C(40, 0)

Los valores de la función objetivo son:

El máximo beneficio lo obtendrá fabricando 20 trajes y 30 vestidos.

PROBLEMA #8 Un constructor va a edificar dos tipos de viviendas A y B. Dispone de 600 millones de bolívares y el coste de una casa de tipo A es de 13 millones y 8 millones una de tipo B. El número de casas de tipo A ha de ser, al menos, del 40 % del total y el de tipo B, el 20 % por lo menos. Si cada casa de tipo A se vende a 16 millones y cada una de tipo B en 9. ¿Cuántas casas de cada tipo debe construir para obtener el beneficio máximo?

Sean las variables de decisión:

x= n: de viviendas construidas tipo A

y= n: de viviendas construidas tipo B.

La función objetivo es:

Las restricciones son:

La zona de soluciones factibles queda, pues:

Siendo los vértices:

A intersección de r,s:

B intersección de r,t:

C (0, 0)

Y la función objetivo toma los valores:

Teniendo que vender 40 viviendas tipo A y 10 tipo B para obtener un beneficio máximo de 130 millones de bolívares.

PROBLEMA #9 Cierta persona dispone de 10 millones como máximo para repartir entre dos tipos de inversión (A y B). En la opción A desea invertir entre 2 y 7 millones. Además, quiere destinar a esa opción, como mínimo, tanta cantidad de dinero como a la B.

a. ¿Qué cantidades debe invertir en cada una de las dos opciones? Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones.

b. Sabiendo que el rendimiento de la inversión será del 9 % en la opción A y del 12 % en la B, ¿Qué cantidad debe invertir en cada una para optimizar el rendimiento global? ?A cuánto ascenderá

a) Sean las variables de decisión:

x= cantidad invertida en acciones tipo A

y= cantidad invertida en acciones tipo B

Las restricciones son:

Puede invertir en cada una de las dos opciones las cantidades correspondientes a cada uno de los puntos de la zona sombreada de la siguiente gráfica:

b) La función de beneficios es:

Y los vértices de la zona sombreada son:

A intersección de r,t:

B intersección de t,u:

C intersección de s,u, o sea C(7, 3)

D(7, 0)

E(2, 0)

Ha de invertir, pues 5 millones de bolívares en A y 5 millones en B para obtener un beneficio máximo de 1,05 millones, o sea 1.050.000 bolívares.

PROBLEMA #10 Una refinería de petróleo tiene dos fuentes de petróleo crudo: crudo ligero, que cuesta 35 dólares por barril y crudo pesado a 30 dólares el barril. Con cada barril de crudo ligero, la refinería produce 0,3 barriles de gasolina (G), 0,2 barriles de combustible para calefacción (C)

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