Metodos De Integracion

¿Qué otros métodos de Integración existen y en que consisten?

Método de las Fracciones Parciales

Este método nos permitirá integrar cierta clase de funciones racionales (cociente de polinomios)

A manera de ilustración consideremos la siguiente integral:

ʃx2+x+3/x-2 dx

Se observa que difícilmente podríamos abordarla con alguno de los métodos que disponemos. Procederemos efectuando la división de los polinomios:

X2+x+3/x-2=x+3 residuo 9

Posteriormente aplicamos el algoritmo de la división y obtenemos:

X2+x+3=(x-2)(x+3)+9

Para obtener en el lado izquierdo de la igualdad la función que queremos integrar,

dividimos en ambos lados entre ( x - 2 ):

x2+x+3/x-2=(x+3)+9/x-2

Descomponiendo de esta manera nuestra fracción complicada en una suma de fracciones sencillas a las que llamaremos fracciones parciales, las cuales son fáciles de integrar.

ʃx2+x+3/x-2 dx=ʃ(x+3)dx+ʃ9/x-2=x2/2+3x+9ln(x-2)+C

En general si queremos integrar un cociente de polinomios P(x)/Q(x) en el que el grado de P(x) es mayor o igual al grado de Q(x), procederemos como en el caso anterior, aplicando el algoritmo de la división.

Integrales de Funciones Trigonométricas

1.- Potencias de senos y cosenos

Para resolver este tipo de integrales se consideran dos casos:

a) Si n es impar, es decir n=2k+1 factorizamos el integrando, por ejemplo

Sennxdx=sen2k+1xdx=(sen2x)ksenxdx

Utilizamos la identidad sen2x+cos2x=1 y tomamos el cambio de variable u=senx

b) Si n es par, es decir n=2k, factorizamos el integrando, por ejemplo

Sennx=sen2kx=(sen2x)k

O en el caso del coseno

Cosnx=cos2kx=(cos2x)k

Y utilizamos las identidades trigonométricas:

Sen2x=1-cos(2x)/2 ó cos2x=1+cos(2x)/2

Sustitución Trigonométrica

Este método, el cual es un caso especial de cambio de variable, nos permitirá integrar

La cual se resuelve de la siguiente forma:

Tomamos el cambio de variable

X=senᶿ donde –π/2˂ᶿ˂π/2 pues -1˂x˂1y en consecuencia dx=cosᶿdᶿ y √1-x2=√1-sen2ᶿ=√cos2ᶿ=Cosᶿ

Pues cosᶿ>0 en el intervalo –π/2˂ᶿ˂π/2

Sustituyendo x en términos de ᶿ, obtenemos una integral en la variable ᶿ, la cual resolvemos fácilmente y del cambio de variable l aexpresamos en términos de x

ʃ1/ √1-x2dx= ʃ1/cosᶿdᶿ=ʃdᶿ=ᶿ+c=aecsenx+c

Integración por partes

Tiene por objeto calcular la función primitiva del producto de una función por la diferencial de otra función de la misma variable. Se basa en la fórmula de la derivada de un producto de dos funciones,

La fórmula de integración por partes es:

ʃ u du=u v - ʃ u dv

Se usa para integrar gran número de integrales no inmediatas que se plantean como producto de funciones algebraicas, logarítmicas y trigonométricas inversas tales como:

ʃ x cos x dx; ʃ ln x dx; ʃ x √x-3 dx; ʃ sen2 x dx; ʃ arc tan x dx.

Integración por Racionalización

Es el procedimiento de integrar una función no racional sustituyendo la variable por una nueva variable de tal manera que el resultado sea una expresión racional. Hecha la sustitución, en la expresión resultante se despeja la variable x y se calcula su derivada.

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