Metodos De Integracion

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

A. Integrales inmediatas.

B. Integrales racionales.

C. Integración por sustitución.

D. Integración por partes.

E. Integración por reducción.

___________________________________________________________________________________

A. Integrales inmediatas:

Es conveniente memorizar la siguiente tabla obtenida de considerar la integral como inversa de la derivada:

TIPO GENERAL CASOS PARTICULARES

Potencial

Exponencial

Logarítmico

Trigonométricas inversas

Trigonométricas

A.1.Integrales reducibles a inmediatas de tipo potencial:

Siempre que en el integrando aparezca una función elevada a una constante, si lo que la multiplica es al menos en su parte variable la derivada de la función, se podrá ajustar con constantes y será una integral inmediata de tipo potencial.

Ejemplo:

A.2. Integrales reducibles a inmediatas de tipo exponencial.

Siempre que en el integrando aparezca una función, si lo que la multiplica es al menos en su parte variable la derivada de la función, se podrá ajustar con constantes, y será una inmediata de tipo exponencial.

Ejemplo:

A.3. Integrales reducible a inmediatas de tipo logarítmico.

Si en el integrando aparece un cociente, si el numerador es al menos en su parte variable la derivada del denominador, se podrá ajustar con constantes, y será una integral inmediata de tipo logarítmico.

Ejemplo:

A.4. Integrales reducibles a inmediatas de tipo trigonométricas inversas.

Si en el integrando aparece una expresión de alguno de los tipos:

O incluso sin raíz en el denominador.

podemos aplicar el método de los 4 pasos que consiste en:

Paso 1:: Se multiplican numerador y denominador por la raíz cuadrada de cuatro veces el valor absoluto del coeficiente numérico del término en x2.

Paso 2: :Se expresa el término interior a la raíz obtenido anteriormente en la forma , identificando coeficientes con esta expresión.

Paso 3:: Se divide numerador y denominador por la raíz cuadrada de p.

Paso 4:: Se ajusta por constantes el resultado obtenido a alguna de las integrales inmediatas de tipo inversa de las trigonométricas.

Ejemplo:

___________________________________________________________________________________

B. Integrales racionales:

B.1.El grado del numerador P(x) es mayor que el grado del denominador Q(x)

Realizamos la división de P(x) por Q(x) y llamando C(x) al cociente y R(x) al resto se ha de cumplir que:

P(x)=Q(x)C(x)+R(x)

Si R(x)=0 la división es exacta y si es distinto de cero el grado de R(x) será menor que el grado de Q(x). Dividiendo la igualdad anterior por Q(x), tenemos:

La integral se descompone en dos:

Si la división es exacta, la integral ha quedado reducida a una inmediata de tipo potencial, si no lo es actuaremos como se explicará en el caso B.3.

B.2. El grado de P(x) es igual al grado de Q(x):

Entonces el cociente es una constante y la integral queda reducida a:

La 1* inmediata y la segunda la estudiaremos en el caso B.2.

B.3. El grado de P(x) es menor que el grado de Q(x):

Seguimos el siguiente proceso:

• Obtenemos las raíces del polinomio denominador Q(x).y éstas pueden ser:

B.3.1. Raíces reales simples.

B.3.2. Raíces reales múltiples.

B.3.3. Raíces complejas simples.

B.3.4. Raíces complejas múltiples.

B.3.1. Raíces reales simples:

a) Podemos poner la integral racional así:

b) Descomponemos P(x)/Q(x) en fracciones simples de la forma:

c) Obtenemos los coeficientes Ai expresando ambos miembros de la igualdad anterior en común denominador que será Q(x) y utilizando el método de identificación de coeficientes o dando valores a arbitrarios a x y resolviendo el sistema de ecuaciones que resulte.

d) Integramos el segundo miembro en el que todas las integrales que aparecen son inmediatas de tipo logaritmo neperiano.

Ejemplo:

Hacemos:

Quedando la integral:

B.3.2. Raíces reales múltiples:

Si Q(x) es de grado n y sus raíces son r1, r2,...rm con órdenes de multiplicidad s1, s2,...sp (verificándose que s1+s2+...+sp=n). Se tiene que el radicando se puede descomponer así:

Es decir, de cada raíz múltiple con orden de multiplicidad s, obtenemos

...