INTEGRACION METODO SIMPSON

EL MÉTODO DE LOS SIMPSON

Además de aplicar la regla trapezoidal o Rectangular con segmentos o sub áreas cada vez más pequeñas, otra manera de obtener una estimación aún más exacta de una integral, es la de usar polinomios de orden superior para conectar los puntos, en el caso particular del método que usa orden 2, es decir de la forma ax^2 +bx + c.

A las fórmulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se les conoce como reglas de Simpson.

En este procedimiento, se toma el intervalo de anchura 2h, comprendido entre

Xi y Xi+2, y se sustituye la función f(x) por la parábola que pasa por tres puntos

El valor del área aproximada, sombreada en la figura, se calcula con un poco más de trabajo y el resultado es que se demuestra en seguida.

Se procede a integrar dicho arco de parábola entre los límites descritos se tendrá:

Remplazando cada uno de los límites, se tiene:

Ahora destruyendo paréntesis se tendrá:

Simplificando un poco la solución se obtendrá la ecuación 1 que se muestra a continuación.

Observando la Figura, en lo que respecta a las notaciones, se puede decir que

Entonces se podría obtener el siguiente sistemas de ecuaciones, evaluando la ecuación general de la parábola ax^2 +bx + c en cada uno de los puntos de la pequeña sub área [–h,0-h]:

De lo anterior se puede decir que:

Retomando la Ec 1 se puede expresar igualmente de la siguiente manera:

Remplazando las ecuaciones 2 y 3 en la Ec 4 se tiene que:

Interpretando la ecuación Ecuación 5 con base en la sub área seleccionada A1 para desarrollar el modelo de Simpson, se diría que el área del segmento es igual a la suma de la altura o función evaluada en el lado izquierdo mas cuatro veces la función evaluada en la parte central de la sub área mas la función evaluada en el lado derecho de la sub área, todo esto multiplicado por el ancho del sub área y dividido por 3.

La simple inspección visual de esta figura y la que describe el procedimiento de los trapecios o los rectángulos, confirma que el método de Simpson deberá ser mucho más exacto que los procedimientos mencionados.

Si a y b se denominan como X0 y X2 , yi (F(Xi) se representa mediante un polinomio de Lagrange de segundo orden, entonces la integral es:

Después de integrar y de reordenar los términos, resulta la siguiente ecuación:

Si se toma entonces se tiene como solución

de la sub área que seria lo mismo mostrado en la ecuación 5.

Ahora, se sabe que el área que se desea encontrar sería la sumatoria de todas las sub áreas que se calculen. Al igual que los métodos de la regla trapezoidal y de la regla rectangular, entre mas sub áreas tenga la integral a calcular, mas exacto será el valor encontrado. El área aproximada en el intervalo [a, b] es:

Ahora dejando esta ecuación en términos de la ecuación 5 se tendrá:

Simplificando h/3 y sumando los términos se tendrá:

Donde N seria el número de sub áreas en el cual se ha dividido el área que se desea calcular.

A manera de ejemplo si el área a calcular se hubiera dividido en 4 sub áreas entonces en términos de y la solución será:

Bien, dependiendo como se agrupen los términos se llegara a expresar la solución de dos maneras:

Los

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