Metodos PROBABILIDADES

PROBABILIDADES[pic 1]

Experimento aleatorio: Es aquel cuyo resultado no puede preverse, pues aunque la experiencia se repite en condiciones iguales, el resultado será variable. Interviene el azar.

Espacio Muestral: Conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.  Se denotará como S.  Cada resultado del espacio muestral, se denomina punto muestral.

Evento: Subconjunto de un espacio muestral

Sucesos: Un elemento del espacio muestral.

Conteo de puntos muestrales:

Regla de la suma: Si un objeto A puede ser escogido de m maneras distintas y otro objeto B de n maneras distintas. Entonces existen (m + n) maneras de escoger A o B.

Regla de la multiplicación: Si una operación puede realizarse en[pic 2] formas, y por cada una de esas, una segunda operación puede realizarse  [pic 3], entonces las dos operaciones pueden realizarse [pic 4] veces.

Por ejemplo: Si una moneda se lanza al aire, se puede obtener cara o sello, dos resultados posibles, si una segunda moneda se lanza al aire, también puede resultar en cara o sello, es decir dos resultados, lo que significa que el total de resultados es[pic 5].

Definición de Factorial:

El producto de los enteros desde el 1 hastan se denota por n! y se llama factorial de n.

[pic 6]           [pic 7]

Observación: Por convención, se define  [pic 8]

Ejemplo:         [pic 9]

Diagrama de árbol es una representación gráfica que permite visualizar un experimento de pasos múltiples.

Diagrama de árbol para el lanzamiento de dos monedas

[pic 10]

Permutaciones: Dicha regla  permite calcular el número de resultados experimentales cuando se seleccionan n objetos de un conjunto de N objetos y el orden de selección es relevante. Los mismos n objetos seleccionadosen orden diferente se consideran un resultado experimental diferente. Es un arreglo de todos o parte de un conjunto de objetos.

1. El número de permutaciones de n objetos distintos es [pic 11]

Ejemplo: ¿De cuántas formas se pueden sentar 4 personas en 4 asientos?

[pic 12]

1. El número de permutaciones de n objetos distintos tomados de r en r es:

[pic 13]

Ejemplo: ¿De cuantas formas se pueden sentar 4 personas si se dispone de 10 asientos?

[pic 14]

1. El número de permutaciones de n objetos distintos, ordenados en forma circular es: [pic 15]

Ejemplo: ¿De cuantas formas se pueden sentar 5 personas alrededor de una mesa?

[pic 16]

1. El número de permutaciones diferentes de n objetos donde [pic 17]son de un tipo, [pic 18] son de otro tipo,  etc, es:

[pic 19]

Ejemplo: ¿Cuántos números distintos se pueden formar con los dígitos del número 2223344?

El dos está 3 veces, el tres 2 veces y el cuatro 2 veces, en total son siete números

[pic 20]

Combinaciones: Otra regla de conteo útil le permite contar el número de resultados experimentales cuando el experimento consiste en seleccionar r objetos de un conjunto (usualmente mayor) de n objetos. Es un arreglo, donde no importa el orden.

El número de combinaciones de n objetos distintos, tomados de r en r es:

[pic 21]

Ejemplos:

1. De un grupo de 15 personas, ¿cuántos grupos formados por 3 personas se pueden seleccionar?

[pic 22]

1. En un curso de 12 hombres y 15 mujeres, se seleccionan al azar 3 hombres y 3 mujeres. ¿de cuántas formas se puede hacer la selección?

[pic 23]

Definición de Probabilidad

La probabilidad de que un evento o suceso ocurra es el cuociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles.

                        [pic 24]

Donde:  P(A) denota la probabilidad del evento A

        [pic 25]denota el número de casos favorables

        [pic 26]denota el número de casos posibles de ocurrencia del experimento.

OBSERVACIONES:

1. La probabilidad de un evento cierto es 1.
2. La probabilidad de un evento imposible es 0.
3. Para cualquier evento A, se tiene que la probabilidad de A, denotada por P(A), es:

[pic 27]

1. Si A y B son eventos complementarios entonces:

[pic 28]                [pic 29]

Ejemplos:

1. Si el evento  A es  “obtener un 5 en el lanzamiento de un dado”, el complemento de A  (AC) es  “no obtener un 5 en el lanzamiento de un dado”.

        [pic 30]                [pic 31]

1. Si el evento A es “obtener dos caras en el lanzamiento de dos monedas”,  el complemento de A es “obtener a lo más una cara en el lanzamiento de dos monedas”

[pic 32]                [pic 33]

PROBABILIDAD DE LA UNIÓN Y DE LA INTERSECCIÓN DE DOS EVENTOS

Sean A y B dos eventos del espacio muestral S.

Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad que ocurra la unión de los dos está dada por:        

[pic 34].

Si A y B no son mutuamente excluyentes entonces la probabilidad de ocurrencia de [pic 35] está dada por:        

[pic 36].

Ahora, si A y B son eventos independientes, la probabilidad de ocurrencia de [pic 37]está dada por:                        

...