Movimiento en dos dimensiones y sus Objetivos

MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES

1. OBJETIVOS:

.Encontrar la ecuación de la trayectoria de un proyectil lanzado horizontalmente

.Determinar la velocidad de lanzamiento del proyectil

.Tener una mejor visión en cuanto al movimiento en 2 dimensiones

2. FUNDAMENTO TEORICO:

En general el movimiento de los objetos verdaderos se realiza en el espacio real tridimensional. El movimiento de una partícula que se realiza en un plano es un movimiento en dos dimensiones, si el movimiento se realiza en el espacio, se produce en tres dimensiones. En este capítulo se estudia la cinemática de una partícula que se mueve sobre un plano. Ejemplos de un movimiento en dos dimensiones son el de un cuerpo que se lanza al aire, tal como una pelota, un disco girando, el salto de un canguro, el movimiento de planetas y satélites, etc. El movimiento de los objetos que giran en una órbita cuya trayectoria es una circunferencia, se conoce como movimiento circunferencial; es un caso de movimiento en dos dimensiones, que también es estudiado en este capítulo. El vuelo de una mosca, el de un avión o el movimiento de las nubes se produce en tres dimensiones.

Descripción del movimiento en dos dimensiones:

Continuamos restringiendo el estudio del movimiento al caso de una partícula que se mueve con aceleración constante, es decir que su magnitud y dirección no cambian durante el movimiento. El vector posición de una partícula que se mueve en el plano xy es una función del tiempo, se escribe como:

[pic 1]

Por definición, la velocidad de la partícula en movimiento en el plano xy es, el cambio de posición en el transcurso del tiempo y se puede determinar por:

[pic 2]

[pic 3]

Donde  y  son las componentes de la velocidad en la dirección x e y. Si la aceleración es constante, sus componentes ax en la dirección x, y ay en la dirección y, también lo son. Aplicando las ecuaciones cinemáticas de la velocidad deducidas para el movimiento en una dimensión, independientemente en cada dirección x e y, para una partícula que en el instante inicial to se mueve con velocidad inicial [pic 6]  se obtienen las componentes de la velocidad en función del tiempo:          [pic 4][pic 5]

[pic 7]

reemplazando en la expresión de v(t ) r , se obtiene la velocidad en cualquier instante t:

[pic 8]

De manera similar reemplazando las expresiones de la posición en función del tiempo en cada dirección x e y, para una partícula que en el instante inicial to se encuentra en la posición inicial  [pic 9]se obtiene la posición r(t ) r de la partícula, en cualquier instante t:

[pic 10]

[pic 11]

Se concluye que el movimiento bidimensional con aceleración constante es equivalente a dos movimientos independientes en las direcciones x e y con aceleraciones constantes ax y ay. A esta propiedad se le llama principio de independencia del movimiento.

MOVIMIENTO DE PARABOLICO:

Cualquier objeto que sea lanzado en el aire con una velocidad inicial o v r de dirección arbitraria, se mueve describiendo una trayectoria curva en un plano. Si para esta forma común de movimiento se supone que: a) la aceleración de gravedad es constante en todo el movimiento (aproximación válida para el caso en que el desplazamiento horizontal del cuerpo en movimiento sea pequeño comparado con el radio de la Tierra) y b) se desprecia el efecto de las moléculas de aire sobre el cuerpo (aproximación no muy buena para el caso en que la rapidez del cuerpo en movimiento sea alta), entonces a este tipo de movimiento se le llama movimiento de proyectil y se produce en dos dimensiones. Se elige el sistema de coordenadas (x, y), donde se dibuja la trayectoria de una partícula en movimiento en dos dimensiones, junto con los vectores velocidad y aceleración de gravedad. Suponiendo que en el instante inicial t = to el proyectil se encuentra en la posición inicial (xo, yo) moviéndose con una velocidad inicial o v r que forma un ángulo α con la horizontal, bajo la acción de la aceleración de gravedad g r , las ecuaciones para la posición del cuerpo en movimiento en dos dimensiones, se pueden escribir, a partir de la ecuación general de posición , para cada componente x e y por separado.  se pueden obtener las componentes de la velocidad inicial o v r , de magnitud vo, y las componentes de la aceleración a r de magnitud g:

[pic 12]

Reemplazando en las componentes de la ecuación, se obtiene:

[pic 13]

Para las componentes de la velocidad se obtiene:

[pic 14]

Como no hay aceleración en la dirección horizontal x, la componente x de la velocidad es constante, y como la aceleración en la dirección vertical y es g, las componentes de la posición y de la velocidad en esa dirección son idénticas a las ecuaciones para caída libre, con α = 90º. Entonces el movimiento de proyectil se compone de la superposición de un movimiento en dirección x con velocidad constante y un movimiento en dirección y de caída libre: es el principio de superposición del movimiento. La ecuación de la trayectoria, esto es la curva geométrica que describe el cuerpo durante el movimiento del proyectil, se puede obtener despejando el parámetro t - to de la ecuación en x y reemplazando en la ecuación para y:

[pic 15]

que es la ecuación de una parábola, entonces la trayectoria del proyectil es parabólica y queda totalmente conocida si se conoce Vo y α. La velocidad del proyectil es siempre tangente a la trayectoria en cualquier instante, por lo que la dirección y la magnitud de la velocidad en cualquier instante se puede calcular en forma geométrica de las ecuaciones:

[pic 16]

3.RESUMEN:

El movimiento parabólico puede ser analizado como la composición de dos movimientos rectilíneos: un movimiento rectilíneo uniforme horizontal y un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado vertical.

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