Movimiento

1. MOVIMIENTO EN EL ESPACIO: VELOCIDAD Y ACELERACIÓN

Antes de entrar los conceptos de velocidad y aceleración es recomendable recordar que es una recta tangente a la curva.

Definición:

Sear(t):t∈(a,b)R→(x(t),y(t),z(t) )∈R^3, una trayectoria de tipo C^1 en R^3, la recta tangente a la curva en r(t_o), en forma vectorial y en función del parámetro λ esta dada por:

l(λ)=r(t_o )+λr'(t_o)

Luego entonces, la recta tangente a la curva □(r(t)) en R^3, en forma paramétrica y en cualquier punto será:

□(x(λ)=) x(t_o )+λx^' (t_o )

□(y(λ)=) y(t_o )+λy^' (t_o )

□(z(λ)=) z(t_o )+λz^' (t_o )

1.1 Velocidad

Suponiendo que una partícula en el espacio se desplaza de modo que su posición en el tiempo t esta dado por la trayectoria que forma la curva □(→┬r (t) ).

Definición:

Si consideramos dos puntos □(→┬P=r(t)) y □(→┬Q=r(t+h)), para pequeños valores de□( h )podemos afirmar que la siguiente ecuación es la ecuación del vector □(→┬PQ ) que se aproxima mucho a definir la dirección de la partícula que se mueve en la trayectoria de □(→┬r (t) ).

(r(t+h)-r(t))/h

Este vector da la velocidad promedio sobre un intervalo de longitud h. Si aplicamos〖 lim〗_(h→0), tendremos el vector de velocidad →┬v(t) para esta partícula

→┬v (t)=〖lim〗_(h→0) (r(t+h)-r(t))/h=→┬r'(t)

Nótese que este también es el vector tangente de la curva →┬r (t).

Si la trayectoria esta en R^3 es de la forma r(t)=(x(t),y(t),z(t) ), su velocidad es el vector r^' (t)=x^' (t) i ̂+y^' (t) j ̂+z^' (t) k ̂, que expresado como matriz

columna r^' (t)={█(x_1^' (t)@x_2^' (t)@x_3^' (t))┤, es el diferencial de la función vectorial, y es tangente a

la trayectoria en cualquier punto.

Con la anterior definición de velocidad podremos calcular el siguiente concepto básico de rapidez.

Definición:

Sear(t):t∈(a,b)R→(x_1 (t),x_2 (t),…..x_n (t))∈R^nuna trayectoria de tipo C^1 en (a, b) la norma o magnitud del vector velocidad es la rapidez; representada por:

S(t)=|r^' (t)|

Para una trayectoria en R^3 será: S(t)=√(〖(x^' (t))〗^2+〖(y^' (t))〗^2+〖(z^' (t))〗^2 )

1.2 Aceleración

Definición:

Sear(t):t∈(a,b)R→(x_1 (t),x_2 (t),…..x_n (t))∈R^nuna trayectoria de tipo C^2 en (a, b) la aceleración de una partícula de masa que se desplaza por la trayectoria esta dada por:

a=r^'' (t)=(x^'' (t),y^'' (t),z^'' (t) )

1.2.1 Vectores tangente unitario y normal unitario de la aceleración

Ahora aplicaremos los conceptos básicos al movimiento de una partícula sobre la trayectoria y a la interpretación geométrica de la misma. Cuando una partícula se desplaza sobre una trayectoria C, su velocidad puede cambiar lenta o rápidamente dependiendo de si la curva se dobla en forma gradual o brusca, respectivamente.

Definición:

Sear(t):t∈(a,b)R→(x_1 (t),x_2 (t),…..x_n (t))∈R^nuna trayectoria de tipo C^1 en (a, b) se conoce como vector tangente unitario, denotado por T(t), a: T(t)=(r^' (t))/(|r^' (t)|); de igual forma se conoce como vector normal unitario, denotado por N(t) a: N(t)=(T^' (t))/(|T^' (t)|) .

Como se puede apreciar en la siguiente figura T(t)y N(t) son vectores ortogonales y el primero es tangente a la curva y el segundo normal a la misma; además es fácil demostrar que T(t) y N(t) son ortogonales.

Z

P T(t)

N(t)

C r(t)

Y

X

1.2.2 Componentes tangencial y normal de la aceleración

Componente tangencial

Dada una curva en R^3 como una función vectorial de la forma r(t)=(x(t),y(t),z(t) ), la componente tangencial de la aceleración es la proyección escalar de la aceleración en la dirección del vector tangente unitario; por lo tanto:

a_T=a(t).T(t)=r^'' (t).(r^' (t))/(|r^' (t)|)

De aquí:

a_T=(r^' (t).r^'' (t))/(|r^' (t)|)

Componente normal

Podemos decir que la componente normal de la aceleración es el producto cruz de la velocidad y la aceleración dividido en la magnitud de la velocidad:

a_N=(r^' (t) x r^'' (t))/(|r^' (t)|)

Relación entre el vector tangencial y normal

Ahora podemos escribir una ecuación para el vector aceleración □(→┬a ) de un objeto en función de los vectores tangencial y normal de su trayectoria.

→┬a=a_T T+a_N N

1.3 Ejercicios

Calcular el vector velocidad y la rapidez de la hélice r(t)=(cost,sent,t) en R^3

Solución: Velocidad → v=r^'(t) =(-sent) i ̂+cost j ̂+k ̂

Rapidez → S(t)=|v|=√(〖(-sent)〗^2+〖(cost)〗^2+1)=√2

Considere una partícula que se mueve sobre la hélice r(t)=(cost,sent,t) en R^3; inicia su movimiento en el punto r(0). En el tiempo t=π la partícula deja la trayectoria y vuela hacia fuera por la tangente, encontrar la posición de la partícula en el tiempo t=2π suponiendo que ninguna fuerza externa actúa sobre ella después de abandonar la trayectoria.

Solución: r(t)=(cost,sent,t) r^'(t) =(-sent,cost,1)

r(0)=(1,0,0)

r(π)=(-1,0,π)

r^' (t)=(0,-1,1)

Como se aprecia en la figura el recorrido total lo realiza la partícula por dos trayectorias; la primera es sobre la hélice r(t) durante un tiempo t=π y la segunda sobre la recta tangente a la hélice en el punto r(π) y durante un tiempo t=π, también, por cuanto el tiempo total del recorrido es 2π; por lo tanto al cabo del tiempo t=2π la partícula estará sobre la recta tangente y para esto es necesario encontrar la ecuación de la recta tangente a la hélice en el punto r(π):

l(λ)=(-1,0,π)+λ(0,-1,1)

Luego la posición final de la partícula será en el punto l(π)

l(π)=(-1,-π,2π); Por lo tanto en el tiempo t=2π la partícula se encuentra en el punto (-1,-π,2π).

z

l(π)

y=r^' (π)

r(π)

y

r(0)=(1,0,0)

x

Dada la hélice r(t)=(cos2t,sen2t,√5 t calcular:

a. La velocidad en t=2π

b. La aceleración en t=2π

c. La rapidez en t=2π

Solución: a. v=r^' (t)=(-2sen2t,2cos2t,√5)

v(2π)=r^' (2π)=(0,2,√5

b. a=r^'' (t)=(-4cos2t,-4sen2t,0

a(2π)=r^'' (2π)=(-4,0,0)

c. S(t)=√(〖4sen〗^2 2t+〖4cos〗^2 2t+5)=3

S(2π)=3; Constante independiente de t.

Dada la hélice r(t)=(4cost,4sent,3t) parat≥0, encontrar los vectores T(t) y N(t)en cualquier punto.

Solución: r^' (t)=(-4sent,4cost,3)

T(t)=((-4sent,4cost,3))/5=(-4/5 sent,4/5 cost,3)

T^' (t)=(-4/5 cost,-4/5 sent,0)

N(t)=((-4/5 cost,-4/5 sent,0))/(4/5)=(-cost,-sent,0)

Dada la trayectoria: r(t)=(1+cost-sent),sent+cost), encontrar:

a. La velocidad, la aceleración y la rapidez.

b. La aceleración tangencial, la aceleración normal.

Solución: a. r^' (t)=(-sent-cost)i+(cost-sent)j →velocidad

r^'' (t)=(-cost+sent)i+(-sent-cost)j →aceleración

|r^' (t) |=√(〖(-cost-sent)〗^2+〖(cost-sent)〗^2

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