Operaciones Matematicas

Operaciones con Matrices.

1.- Suma de matrices.

Dadas las matrices mxn: A = y B = la suma de ambas

es la matriz mxn cuyas entradas se obtienen sumando las entradas de A y B:

A + B =  Mmxn.

Ejemplos:

i) La suma de las matrices A = y B = es

A + B = =

ii) Sumar la matriz nula a cualquier otra matriz de igual tamaño no altera a esta última:

A + O = + = = = A

iii) La suma de vectores fila o columna no es más que la conocida suma de vectores

en ℝn (o en ℂn):

+ =

+ =

2.- Multiplicación de un escalar por una matriz.

Sean ℝ (o ℂ) y A = , entonces A = .

A es la matriz que se obtiene de multiplicar cada entrada de A por .

Ejemplos:

i) Multiplicar la matriz A = por 4, resulta:

3A = =

3.- Multiplicación de matrices.

Dadas matrices Amxn = y Bnxk = el producto A  B es la matriz Cmxk = , en donde la entrada i, j de esta matriz es

cij = .

Ejemplos:

i) Si A2x3 = y B3x4 = , entonces

(A  B)2x4 =

ii) Multiplicación de un vector fila por un vector columna: Sean u = y

v = , el producto u  v es (la matriz 1x1) (a1 b1 + … + an bn). Note que el

producto de un vector fila por otro columna de igual tamaño coincide con el

producto escalar en IRn (habida cuenta que identificamos ambos conjuntos;

M1xn y Mnx1 con IRn). Con esta observación una forma práctica de multiplicar

dos matrices de tamaño apropiado consiste en multiplicar la fila i de la primera

por la columna j de la segunda, para así obtener la entrada i, j de la matriz

producto de ambas. Por ejemplo, en la entrada 2, 3 del producto A por B en

el ejemplo i) se obtiene multiplicando la fila 2 de A por la columna 3 de B:

 = = ( )

iii) Multiplicar una matriz A por ambos lados por la matriz nula O, de tamaño

apropiado, siempre resulta la matriz nula, mientras que multiplicar por la

identidad de tamaño apropiado, también a ambos lados, siempre resulta la

matriz A.

iv) Multiplicación de una matriz 3x2 por una 2x3: Sean A2x3 = y

B3x2 = , el producto A  B = , mientras que

B  A = . Con este ejemplo se muestra que la multiplicación de

matrices no es una operación conmutativa. Se puede mostrar otros ejemplos de

matrices A y B para las que ni siquiera se puede cambiar el orden de

multiplicación.

En efecto, se puede multiplicar una matriz A2x3 con una B3x4, pero el producto

B  A no tiene sentido, pues para multiplicar matrices, la matriz a la izquierda

debe tener tantas columnas como filas tiene la matriz a la derecha.

v) Si se multiplican matrices cuadradas siempre se puede cambiar el orden, pero

incluso en este caso, aunque hay muchos ejemplos en que se verifica la

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