PROGRAMACION NUMERICA

Mencione y explique las técnicas para mejorar las soluciones del método de eliminación de Gauss.

*Uso de cifras significativas.

*Pivoteo. Cuando un elemento pivoteo es cero, la normalización origina una división entre cero. También surge el problema cuando el elemento pivote es cercano a cero. Se puede evitar:

Pivoteo parcial. Cambiar las filas parar que el elemento mayor sea el pivote.

Pivoteo total. Buscar el mayor elemento en filas y columnas y entonces cambiar. Este procedimiento rara vez se utiliza debido a que agrega significativa e injustificada complejidad a los programas de computadora.

Escalamiento: El escalamiento es útil para la estandarización del tamaño determinante; así como la minimización de los errores de redondeo; en aquellos casos en los que algunos de las ecuaciones de un sistema tienen coeficientes. Tales situaciones se encuentran con frecuencia en la práctica de la Ingeniería, al usar unidades diferentes en el desarrollo de ecuaciones simultaneas. Este escalamiento puede tener un impacto directo sobre el error de redondeo, ya que afecta el pivoteo.

Algoritmo para la eliminación Gaussiana: Es posible implementar en algoritmo completo de la eliminación de Gauss es diferentes códigos de computador. Esta implementación incluye las tres operaciones principales del algoritmo de eliminación gaussiana: eliminación hacia delante, sustitución hacia atrás y pivoteo. El algoritmo se caracteriza porque:

Las ecuaciones no están escaladas, pero los valores escalados de los elementos se usa para determinar si se debe usar el pivoteo.

El termino diagonal se vigila durante las fases del pivoteo para detectar ocurrencias de valores cercanos a cero y con esto indicar si el sistema es singular.

Resuelva los Siguientes ejercicios:

Ejercicio Nº 1:

Colocar un ejemplo de un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas que sea:

Compatible Determinado

Respuesta: Un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas, si es compatible, no puede ser utilizado. Es decir, que si tiene solución, entonces tiene infinitas soluciones. Por lo tanto, no existe un sistema de 2 x 3 compatible determinado.

Compatible Indeterminado

Respuesta:

3x - y + 2z = 1

x - 2y + z = -2

Matriz de Determinante:

∆ = (█(3 -1 2@@-1 2 -1))

Las filas no son múltiples entre sí, es compatible indeterminado el sistema

Buscamos la Solución al Sistema:

{█(3x-y =1-2z (I)@- x +2y = -2+z (II) )= ̂ {█(3x-y =1-2z@-3x +6y = -6+3z)┤ ┤

5y =-5+ z

y= (-5+z)/5

Sustituimos “y” en la ecuación (I):

3x-y =1-2z

3x- ((-5 +z)/5) =1 -2z

3x +1-1/5 z =1-2z

3x-=1-2z+ 1/5 z -1

3x =-9/5 z

x =(-9/5 z)/3

x =-3/5 z

Entonces, todas las soluciones son de la forma:

(-3/5 z , (-5 +z)/5 , 2) ; Donde z varía en R

Incompatible

Respuesta: El sistema es incompatible cuando una fila de la matriz determinante es múltiplo de la otra.

En el siguiente sistema:

4x + 2y - 8z = 0

2x + y - 4z = - 1

La matriz de determinante es:

∆ = (█( 4 2 -8@@2 1 -4))

La fila 1 F1 es el doble de la fila 2 F2. Pedo además, ocurre que los términos independientes no guardan la misma relación.

La transformación lineal T: R3 R2 definida por:

T (x,y ,z) = (4x+2y-8z ,2x+y-4z)

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