Probabilidad

EJERCICIOS CAPITULO 4

VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

1.- Una persona pide prestado un llavero con cinco llaves, y no sabe cuál es la que abre un candado. Por tanto, intenta con cada llave hasta que consigue abrirlo. Sea la variable aleatoria X que representa el número de intentos necesarios para abrir el candado.

Desarrollo:

La probabilidad de abrir a la primera es 1/5

La probabilidad de abrir a la segunda es la probabilidad de no abrir - abrir

4/5 * 1/4 =1/5

ya que primero tenemos 5 llaves de las que 4 no abren 4/5 y después para la segunda tenemos 4 de las que 1 abre el candado 1/4

de la misma manera para

3 intentos --> 4/5 * 3/4 * 1/3 = 1/5

4 intentos --> 4/5 * 3/4 * 2/3 * 1/2 = 1/5

5 intentos --> 4/5 * 3/4 * 2/3 * 1/2 = 1/5

P(X)=1/5

P(X<=1) = P(X=1) = 1/5

EJERCICIOS CAPITULO 5

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD

1 - El propietario de una farmacia local sabe que en promedio, llegan a su farmacia 100 personas cada hora.

a.- Encuentre la probabilidad de que en un periodo dado de 3 minutos nadie entre a la farmacia

b.- Encuentre la probabilidad de que en un periodo dado de 3 minutos entren más de 5 personas a la farmacia.

Solución:

a- Utilizamos la distribución de Poisson

λ=100 personas/hora

1 hora --> 100 personas

60 minutos --> 100 personas --> 5/3 personas por minutos

3 minutos --> 5/3 *3 = 5 personas

λ=5

P(X=x) = e^(-λ) * λ^x / x!

En este caso,

P(X=x) = e^(-5) *5^x / x!

a) P(X=0) = e^(-5) * 5^0 / 0! = 0.0067

b) P(X>5) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) + ...

P(X>5) = 1 - P(X<=5)

donde p(X<=5) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)

P(X=0) = e^(-5) * 5^0 / 0! = 0.0067

P(X=1) = e^(-5) * 5^1 / 1! = 0.0336

P(X=2) = e^(-5) * 5^2 / 2! = 0.0842

P(X=3) = e^(-5) * 5^3 / 3! = 0.1403

P(X=4) = e^(-5) * 5^4 / 4! = 0.1754

P(X=5) = e^(-5) * 5^5 / 5! = 0.1754

Sumando P(X<=5) = 0.6156

Por tanto

P(X>5) = 1 - 0.6156 = 0.3844

EJERCICIOS CAPITULO 6

DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD

1- En una panadería se cortan panecillos con un peso que se ajusta a una distribución normal de media 100 g y desviación típica 9.

¿Cuál es la probabilidad de obtener un panecillo cuyo peso oscile entre 80 g y la media?

Para obtener P (80<X<100), donde X es una variable aleatoria de la distribución de los panecillos.

Primero, por el teorema del límite central,

P(80<X<100) = P ((80-100)/9<(X-100)/9<(100-100)/9) =

P (-20/9< Z < 0 )

Ahora, sabemos que es cierto que P(a<X<b) = P(X<b)-P(X<a)

y que P(X<a) = 1 - P (X>a)

Tabla de Distribución:

P(Z<-20/9) - P(Z>0)

Buscando en tablas, y a sabiendas que P(Z>0) = 0.5, solo basta hallar P(Z<-20/9) = 1 - P (Z>20/9) = 1 - 0.0132 = 0.9868

Es decir P(Z<-20/9) - P(Z>0) = 0.9868 - 0.5000 = 0.4868

0.4868 es la probabilidad de obtener el peso del panecillo

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