Problemas Olimpicos

Problemas olímpicos

Pregunta No. 1

El ángulo A del triángulo isósceles ABC mide 2/5 de un ángulo recto, siendo iguales susángulos B y C. La bisectriz de su ángulo C corta al lado opuesto en D. Calcular lasmedidas de los ángulos del triángulo BCD. Expresar la medida a del lado BC enfunción de la medida b del lado AC, sin que en la expresión aparezcan razonestrigonométricas.

Pregunta No. 2

Demostrar que para todo número primo p distinto de 2 y de 5, existen infinitosmúltiplos de p de la forma 111...1 (escritos sólo con unos)

Pregunta No. 3

Escrito el triángulo aritméticodonde cada número es la suma de los dos que tiene encima (cada fila tiene unnúmero menos y en la última sólo hay un número). Razonar que el último númeroes múltiplo de 1993.

Pregunta No. 4

Considere un cuadrilátero cualquiera con área igual a 5 y lados mayores o iguales a2. Se tienen cuatro circunferencias de radio 1, con centro en cada uno de los vérticesdel cuadrilátero. Encontrar el área sombreada de la figura.

Pregunta No. 5

Los números naturales a y b son tales que (a+1)/b (b+1)/aes entero. Demostrar que el máximo común divisor de a y b no es mayor que √(a+b)

Pregunta No. 6

a) Pruebe que un polígono convexo de n lados tiene(n(n-3))/2diagonales.

b) Pruebe que si n > 4, se tiene que

c) ¿Cuál es el polígono que tiene 119 diagonales?

Pregunta No. 7

Considérese la sucesión: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5,... ¿Cuál sería el término2000?

Pregunta No. 8

Encuentre el resultado de la siguiente suma:

Pregunta No. 9

Sea ABCD un cuadrado en el cual tenemos inscrito otro cuadrado EFGH cuyosvértices se encuentran ubicados en los puntos medios de los lados del cuadrado

ABCD. A su vez tenemos un círculo de área a inscrito en el cuadrado EFGH.

Encuentre el área del cuadrado ABCD en función de a.

Pregunta No. 10

Ana ha decidido

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