Procesos METODO GRAFICO

ProcesosMETODO GRAFICO

Este es un método muy simple, consiste en calcular valores de la variable dependiente para distintos valores de la variable independiente. A continuación se grafican en un sistema de ejes coordenados cartesianos y se observa el punto de intersección de la función con el eje de las abscisas. Este punto proporciona una primera aproximación a la raíz de la ecuación. ¾ Por ejemplo, si se desea determinar, aplicando el método gráfico, los valores aproximados de las raíces de x2-6 x +1 =0. Para ello se calcula el valor de la función en el intervalo [-2,8] y se representan los valores en un sistema de ejes cartesianos

Ejemplo:

Obtenga gráficamente la raíz de la ecuación f(x) = e-x– x. Primero se seleccionan valores inicial y final del intervalo que se va a graficar.

Y luego se grafican los puntos en el eje cartesiano.

Raíz: valor de x|f(x)=0. Es decir, valor de x que hace que la función sea cero (0)

Gráficamente se puede observar que el valor donde la curva intercepta aleje X está alrededor de 0,57. Entonces, la raíz será x = 0,57.Los métodos gráficos tienen un valor limitado, ya que no son precisos. Pero son útiles para obtener aproximaciones a la raíz. Los valores obtenidos pueden ser usados como valores iníciales en otros métodos numéricos.

EJEMPLO

X2-1 = 0

Lo que deseamos encontrar son los valores de x para los cuales x^2-1 se hace cero.

Pero x^2-1 = 0 en palabras nos dice: «pensé un número, lo multipliqué por sí mismo, le resté uno y obtuve cero».

Entonces, antes de restar 1, tenía 1, porque la diferencia fue cero.

X^2= 1

Ahora la ecuación transformada dice: «pensé un número, cuando lo multipliqué por sí mismo obtuve uno

Aquí la solución inmediata es x = 1.

Pero si piensas un poco más, te darás cuenta que x = -1 también es solución, porque:(-1)^2 = 1.

Los valores que deseábamos encontrar son: x = 1 y x = -1.

Ahora podemos graficar la función: y = x^2 -1.

De la gráfica podemos ver que las intersecciones sobre el eje x son:

X1 = 1

X2 = -1

Nosotros buscamos los puntos donde la gráfica corta al eje x, porque sobre este eje y = 0, y tenemos en esos casos, la solución de la ecuación.

METODO DE LA SECANTE

Surge como una variación del método de Newton-Raphson, en lugar de tomar la tangente se toma la secante. De manera que la derivada se aproxima por una diferencia dividida, es decir:

Esto puede sustituirse en la fórmula (3.9), de manera que se llega a:

La ecuación (3.16) es la fórmula para el método de la secante. El método requiere de dos valores iníciales pero como no se requiere que f(x) cambie de signo en el intervalo considerado, no se lo incluye dentro de los métodos que utilizan intervalos.

Un algoritmo para este método iterativo es el que sigue.

Algoritmo para el método de la Secante

Permite encontrar una solución a la ecuación f(x)=0, dadas dos aproximación inicial x0 y x1.

Considerando la siguiente notación:

X0: aproximación inicial a la raíz

X1: aproximación inicial a la raíz

X: aproximación a la raíz

F(x): función en estudio

E: cota de error o criterio de detención

N: número máximo de iteraciones

Paso 1: Tomar i = 2

Pasó 2: Mientras i ≤ N seguir con los pasos 3 a 6

Paso 3: tomar

Paso 4: Si x − x0< E, SALIDA x

PARAR

Paso 5: Tomar i = i+1

Paso 6: Tomar x0=x1; x1=x

Paso 7: SALIDA (‘Procedimiento completado sin éxito después de N’ iteraciones)

EJEMPLO

Use el método de la Secante para hallar la raíz de la ecuación

f(x) = e^-x– x, con X-1=0 y Xo=1

Se halla una raíz de 0,56714329 con un Ea de 1,3977x10^-11

% de Error, en la 7ª iteración.

Comparación de Métodos:

El valor real es de 0,567 143 29

MÉTODO DE PUNTO FIJO

El método del punto fijo es un método iterativo que permite resolver sistemas de ecuaciones no necesariamente lineales. En particular se puede utilizar para determinar raíces de una función de la forma f(x), siempre y cuando se cumplan los criterios de convergencia.

Los dos puntos fijos, marcados en rojo, de la función f(x) = x2 − 4

Descripción del Método

El método de iteración de punto fijo, también denominado método de aproximación sucesiva, requiere volver a escribir la ecuación f(x) = 0 en la forma x = g(x).

Procedimiento

El procedimiento empieza con una estimación o conjetura inicial de x, que es mejorada por iteración hasta alcanzar la convergencia. Para que ocurra convergencia, la derivada (dg / dx) debe ser menor que 1 en magnitud (al menos para los valores x que se encuentran durante las iteraciones).

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