La Recta Y El Plano Vectorial

La recta y el plano

CONJUNTO DE ECUACIONES DE LA RECTA

Postulado de Los Elementos de Euclides:

Una línea recta puede ser dibujada uniendo dos puntos cualquiera.

Ecuación vectorial de la recta

Para determinar la ecuación vectorial de una recta es necesario que conozcamos un punto de la recta y un vector de posición o dos puntos de la recta. Vamos a hallar la ecuación a partir de un punto y un vector de posición, si tuviésemos dos puntos A, B entonces el vector AB es un vector de posición.

La ecuación de una recta es una expresión analítica que permite identificar todos los puntos de la recta.

y

Dados un punto de la recta y un vector de dirección , un punto que genera a la recta X(x,y)tendrá como vector de posición .

Es claro que , como el vector y están en la misma dirección existe un número tal que , por tanto esta expresión se conoce como ecuación vectorial de la recta.

Ecuación vectorial de la recta

Halla la ecuación vectorial de la recta que pasa por y tiene como vector de dirección

Calcula la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos P=(-2,3) y Q=(1,4)

Para determinar la ecuación vectorial necesitamos un punto y un vector de dirección, el punto lo tenemos y un vector de dirección se puede determinar a partir de dos puntos de la recta , luego la ecuación vectorial es

Halla la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos y

Definimos una recta L como el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con una dirección dada por el vector v ⃗.

Si P(x1, y1) es un punto de la recta L, el vector tiene igual dirección que v ⃗, luego es igual a v ⃗ multiplicado por un escalar:

Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir su ecuación vectorial.

Definición

Si es una recta que pasa por los puntos

Si realizamos da diferencia de las coordenadas de estos dos puntos obtenemos

Un vector que va del punto P al punto Q, así obtenemos

P-Q=(p_(1,) p_(2,) p_3 )-(q_(1,) q_(2,) q_3)

Queda de la siguiente manera

□(→┬PQ =(p_1-q_(1,) p_2-q_(2,) p_3-q_3))

y si ponemos entonces

La ecuación vectorial de es

(x,y,z)=(p_(1,) p_(2,) p_3 )+t<v_1,v_(2,) v_3)

Lo cual lo podemos entender que el punto (x,y,z) esta determinado por

La suma del punto(p_(1,) p_(2,) p_3 ) más el producto del escalar t que multiplica al vector de dirección de la recta. Considerando que esta punto puede ser cualquier punto de la recta.

Despejando x,y y z obtenemos las ecuaciones paramétricas de

Si cada〖 v〗_(i )≠0, despejando obtenemos las ecuaciones simétricas de la recta .

Otra forma de expresar la ecuación vectorial de la recta puede ser de la siguiente manera:

P=P_(0 )+ t v

Donde P ( x , y, z) es un punto arbitrario de la recta y

P_0 (x_(0,) 〖 y〗_(0, ) z_(0 ) ) un punto dado luego,

V , es el vector director de la recta.

<x-x_(o,) y-y_o,z-z_o> =t <a_1,a_2,a_3> Ecuación vectorial

x= x_o+a_1 t ,y= y_0+a_2 t,z=z_0+a_3 t Ecuaciones paramentricas

(x-x_(o ))/a_1 =(y-y_o)/a_2 = (z-z_o)/a_3 Ecuaciones Simétricas o rectangulares

II ECUACION DE LA RECTA EN FORMA SIMETRICA

Ecuación de la recta que pasa por los puntos A (1, 4, -9); B (10, 14, -2)

de Aa B

V = A - B

Solución

a1= ( x2 –x1 )=(10-1)=9

a2= ( y2 –y1 )=(14-4)=10

a3= ( z2 –z1 )=(-2+9)=7

Vector director de la recta V=<9,10,7>

FORMA SIMETRICA

2)Ecuación de la recta que pasa por los puntos A (4, 2, 1); B (-7, 2, 5)

Solucion

de Aa B

V = A - B

a1= ( x1 –x2 )=(4+7)=11

a2= ( y1 –y2 )=(2-2)=0

a3= ( z1 –z2 )=(1-5)=-4

FORMA SIMETRICA

3) Ecuación de la recta que pasa por los puntos A (1, 2, 3); B (-6, 4, -3)

de Aa B

V = A - B

a1= ( x2 –x1 )=(-6-1)=-7

a2= ( y2 –y1)=(4-2)=2

a3= ( z2 –z1 )=(-3-3)=-6

FORMA SIMETRICA

III ECUACION DE LA RECTA EN FORMA PARAMETRICA

ENCONTRAR LAS ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA QUE PASA POR LOS PUNTOS:

1)Ecuación de la recta que pasa por los puntos A (2, 3, 5); B (6, -1, 8);

Solución

si a = A-B se toma como referencia a B

(x, y, z)= (2+ t (6-2), 3+ t (-1-3), 5+ t (8-5))

(x, y, z)= (2+ t (4), 3+ t (-4), 5+ t (3))

x = 2+4 t;

y = 3 - 4 t; Ecuaciones Paramétricas

z = 5+3 t;

2) Ecuación de la recta que pasa por los puntos A (1, 0, 0); B (3, -2, -7)

Solución

(x, y, z)= (1+ t (3-1), 0+ t (-2-0), 0+ t (-7-0))

(x, y, z)= (1+ t (2), t (-2), t (-7))

x = 1+2 t;

y = - 2 t; Ecuaciones Paramétricas

z = -7 t;

3) Ecuación de la recta que pasa por los puntos A (5, -2, 4); B (2, 6, 1)

Solución

(x, y, z) = (5+ t (2-5), -2+ t (6+2), 4+ t (1-4))

(x, y, z) = (5+ t (-3), -2+ t (8), 4+ t (-3))

x = 5-3 t;

y = - 2 +8t; Ecuaciones Paramétricas

z = 4-3 t;

4) Obtener las ecuaciones Paramétricas de la recta que pasa por P(6, 4, -2) y es paralela a la recta

Solución

t = x/2; t = 1-y / 3; t = z-5 /6;

x = 6+2 t;

y = 4 – 3 t; ecuaciones Paramétricas

z = -2+6 t;

IV ECUACION LA RECTA SUS DIFERENTES FORMAS

VECTORIAL PARAMETRIC Y SIMETRICA

1) Ecuación de la recta que pasa por los puntos P (1, 2, 1); Q (3, 5, -2);

a =Q– P = ( x2 –x1, y2 –y1, z2 –z1 ) = ( a1 , a2, a3 )

(x, y, z)= P + t a

a = (3-1, 5-2, -2-1)= (2, 3, -3)

(x, y, z) = (1, 2, 1) + t (2, 3, -3)

2) Ecuación de la recta que pasa por los puntos P (10, 2, -10); Q (5, -3, 5);

a =Q– P = ( x2 –x1, y2 –y1, z2 –z1 ) = ( a1 , a2, a3 )

(x, y, z)= P0 + t a

a = (3-1, 5-2, -2-1)= (2, 3, -3)

(x, y, z) = (1, 2, 1) + t (2, 3, -3)

<x-1.y-2,z-1>=t<2,3,-3>Ecuación vectorial

x-1=2t,y-2=3t, z-1=-3t Ecuaciones para métricas

(x-1)/2=t, (y-2)/3=t, (z-1)/(-3)=t

(x-1)/2=(y-2)/3=(z-1)/(-3) Ecuaciones simétricas

3) Ecuación de la recta que pasa por los puntos ,

a = P-Q = = vector

(x, y, z) = + t Ecuación de la recta

Otros ejercicios como los siguientes relacionados con la recta son:

A) Calcular el punto de intersección entra La y L b

La Lb condición inicial: x1 =x2; y1 =y2; z1 =z2

4 + t = 6 + 2s (1)

5 + t = 11 + 4s (2)

-1 +2t= -3 + 5s (3)

despejar t en ecuación (1)

t = 6+2s-4= 2+2s

Sustituyo t en (2) sustituyo en Lb a s

5+(2+2s)=11+4s x = 6+2(-2)= 2

7+2s=11+4s y =11+4(-2)= 3

s= -2 z = -3+(-2) = -5

El Punto de Intersección es: (2, 3, -5) La x = 2, y =3, z =-5

B) Hallar el ángulo entre dos rectas La y Lb

La Lb para La a = (-1, 2, -2)

paraLb a = ( 2, 3, -6)

Alguna de las aplicaciones de la ecuación de la recta:

1.- Encuentra las ecuaciones para métricas

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