Rectas y Planos

Rectas y Planos

Segunda parte: Planos

Objetivos

Esperamos que el estudiante:

• Aplique los conceptos del álgebra vectorial en la resolución de temas geométricos concretos.
• Identifique dichos elementos geométricos y los relaciones con sus expresiones algebraicas.
• Adquiera destreza en el manejo de problemas geométricos relativos al plano y al espacio.

Contenidos

Ecuación del Plano:

Deducción de la ecuación general del plano utilizando vectores. Distintos casos: un punto y un vector normal (demostración), dos vectores no paralelos y un punto (utilizando el caso anterior), tres puntos no alineados (ídem) Ecuación paramétrica vectorial de un plano como consecuencia del concepto de producto mixto y de la combinación lineal de vectores.  

Situaciones particulares de la ecuación del plano: paralelo a los ejes coordenados y a los planos coordenados. Demostración. Forma segmentaria. Trazas de un plano.  

Posición relativa de dos planos en el espacio. Su estudio mediante sistemas de ecuaciones lineales.  Condiciones de paralelismo y perpendicularidad. Geometría métrica: ángulo; distancias (de punto a plano y entre planos paralelos). Demostraciones. Aplicaciones.

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Ecuación del Plano: Mapa Conceptual[pic 2]

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Actividades Prácticas y Teóricas

En esta sección de la guía de trabajos prácticos de la Unidad Temática II, avanzamos con el estudio de  contenidos de la  Geometría Analítica, estudiaremos en particular el lugar geométrico denominado Plano en el contexto del espacio tridimensional, es decir, trabajaremos en el espacio  .[pic 60]

El espacio  ,  es el espacio que modela al espacio en el que vivimos, espacio en el cual nos movemos indicando largo, ancho y alto.  Recomendamos que utilice este hecho cuando estudie los contenidos de esta sección y cuando resuelva las actividades prácticas  que se proponen. Por ejemplo: las paredes de una habitación, la tabla de una mesa, una hoja son objetos físicos que modelan porciones de planos y favorecen la comprensión de los enunciados como ser: puntos que pertenecen a un plano, vectores que son paralelos o perpendiculares a un plano, planos paralelos, planos perpendiculares, ángulo diedro entre planos, etc.  [pic 61]

Los conceptos que estudiamos del objeto geométrico denominado plano, tienen mucho parecido con el objeto geométrico estudiado en la sección anterior: recta en el plano. Un primer parecido es que podemos afirmar que el plano en el espacio cartesiano  se modela mediante ecuaciones vectoriales y polinómicas de primer grado. Al avanzar con el estudio podrá comprender que siempre que tenga definida en el espacio  una ecuación polinómica de primer grado en a lo sumo tres variables, como ser:  está definiendo analíticamente un objeto geométrico, un plano. Estos parecidos con la ecuación de la recta en el plano  pueden terminar haciéndonos confundir, por eso es muy  importante que recuerde y comprenda que en un caso empleamos puntos del espacio   y, en el otro caso puntos del espacio  .    Es decir, resulta fundamental, estar ATENTO al contexto en el que está trabajando.[pic 62][pic 63][pic 64][pic 65][pic 66][pic 67]

Nuevamente, representaremos objetos geométricos mediante fórmulas, por lo tanto, es importante comprender y utilizar correctamente la escritura simbólica mediante la cual nos referimos a objetos del álgebra o de la geometría.  Recuerde que: la comprensión de la escritura simbólica nos permite identificar en qué contexto estamos trabajando, y viceversa; y que: el contexto nos indica la notación simbólica que debemos utilizar. Por esto es que, reiteramos que al  resolver las actividades prácticas de esta guía de trabajos prácticos mantenga la atención acerca del contexto en el cual está trabajando.

Si presta atención al mapa conceptual, notará que los conceptos aprendidos en la Unidad de Álgebra Vectorial son el punto de partida y herramienta para deducir ecuaciones del plano y estudiar características de este objeto geométrico.  Esto hace que, en esta sección del trabajo práctico de la Unidad Temática II, podamos pensar en un contexto “principal” el cual se corresponde con el estudio de un lugar geométrico denominado plano  del espacio tridimensional:  y contextos “secundarios”, como ser: los conceptos álgebra vectorial que estudiamos en la primera unidad de la asignatura y conceptos del álgebra, que ha estudiado en el Seminario Universitario: operaciones entre números reales, resolución de ecuaciones, resolución de sistemas de ecuaciones, etc.   [pic 68]

Sugerimos que,  antes de resolver las actividades intente tener en claro en qué contexto está trabajando y  cuál es el contexto  del  objeto  que debe dar como respuesta.

Actividad 1

En los casos que se plantean, puede hallar la ecuación del plano usando el concepto de vectores perpendiculares o bien de vectores coplanares. Es muy útil en este ejercicio emplear figuras de análisis.

Hallar la ecuación vectorial y la general o implícita del plano  que cumple con las siguientes condiciones:

1. Contiene al punto [pic 69] y  el vector  [pic 70] es   perpendicular al plano
2. Contiene al punto [pic 71] y es paralelo a los  vectores [pic 72] y [pic 73][pic 74]

 Obtener,   además, la ecuación segmentaria y  vectorial paramétrica de este plano.

1. Contiene a los puntos [pic 75]; [pic 76] y [pic 77].

Obtener,  además, la ecuación segmentaria y  vectorial paramétrica de este plano.

1. Contiene  a  los  puntos  [pic 78] y [pic 79], y es paralelo  al eje  de abscisas.

Actividad 2

En esta actividad encontrará distintas actividades que involucran el concepto de distancia de un punto a un plano.

1. Teniendo en cuenta la figura de análisis  que se ofrece, muestre en ella la distancia que se pide.  

Además,  deducir y enunciar un  procedimiento analítico que permita calcularla.

Incógnita: Distancia desde el punto [pic 80] al  plano  [pic 81]:  [pic 82]

Datos: El punto  y la ecuación del plano: .[pic 83][pic 84]

Del plano: un punto  , es decir: y  un vector normal del plano [pic 88].  [pic 85][pic 86][pic 87]

[pic 89]

[pic 90][pic 91]

1. Calcular la distancia:

1. desde el punto [pic 92] al plano de ecuación: [pic 93]
2. desde el punto [pic 94] al plano que contiene a los puntos [pic 95], [pic 96] y [pic 97] (Interpretar el resultado. ¿Cómo puede verificar su respuesta vectorialmente?)

1. Sean los planos^[1] paralelos^[2]:   y  . Demostrar que la distancia entre ellos es: [pic 98][pic 99][pic 100]

1. Encontrar las ecuaciones de los planos bisectores^[3] de los ángulos diedros^[4] formados por los planos:   y  [pic 101][pic 102]

Actividad 3

En los casos que se plantean, resolverá actividades que se relacionan con el tema que se denomina posiciones relativas de dos o más planos.

1. Dados los planos ,   y , obtener la medida del ángulo agudo, aproximando al grado más cercano, que determinan tomados de a dos.[pic 103][pic 104][pic 105]

1. Encontrar la intersección^[5] entre los planos:

1.   y    [pic 106][pic 107]
2. ,   y [pic 108][pic 109][pic 110]

1. Hallar el valor de  para que los planos: [pic 111]

 y    [pic 112][pic 113]

1. Sean paralelos
2. Sean perpendiculares
3. Determinen un ángulo igual a  [pic 114]

1. Encontrar  una   ecuación del   plano    que pasa por el punto  y es paralelo al plano [pic 115][pic 116]

1. Obtener una ecuación del plano que   pasa por el punto  y es perpendicular al plano [pic 117][pic 118]

Actividad 4

En esta actividad trabajaremos con el concepto de familia o haz de planos. Recordemos que se llama así al conjunto de todos los planos que pasan por una recta.

Una imagen de este concepto en el mundo que habitamos son las puertas giratorias que pueden observarse en  bancos o en edificios públicos.

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