LA RECTA LA RECTA EN EL PLANO
Enviado por Cesar Goiburu • 19 de Abril de 2016 • Prácticas o problemas • 5.137 Palabras (21 Páginas) • 197 Visitas
LA RECTA
LA RECTA EN EL PLANO
Inclinación y pendiente de una recta
Sea [pic 1] una recta dirigida hacia arriba. Se llama ángulo de inclinación de [pic 2] al ángulo que la recta forma con el eje X positivo. Si [pic 3] es paralela al eje X, su ángulo de inclinación es cero.
[pic 4]
Se llama pendiente de una recta [pic 5] a la tangente de su ángulo de inclinación. La pendiente se designa comúnmente por la letra [pic 6] y se escribe entonces
[pic 7],
siendo [pic 8] la medida del ángulo de inclinación.
Observación: Cualquier recta que coincida o sea paralela a1 eje Y será perpendicular a1 eje X, y su ángulo de inclinación será de 90º. Como [pic 9] no está definida, la pendiente de una recta paralela a1 eje Y no existe.
Si [pic 10] y [pic 11] son dos puntos diferentes cualesquiera de una recta dirigida [pic 12], la pendiente de la recta es
[pic 13],
siendo [pic 14].[pic 15]
Ángulo de dos rectas
Sean [pic 16] una recta dirigida con ángulo de inclinación [pic 17] y pendiente [pic 18] y [pic 19] una recta dirigida con ángulo de inclinación [pic 20] y pendiente [pic 21]. La medida [pic 22] del ángulo agudo formado por las rectas está dada por
[pic 23],
siendo [pic 24].
[pic 25]
Como la medida de un ángulo exterior de un triángulo es la suma de las medidas de los dos ángulos internos no adyacentes se tiene
[pic 26],
es decir,
[pic 27].
Por tanto,
[pic 28].
Condición de paralelismo entre dos rectas
Sean las rectas [pic 29] con pendiente [pic 30] y [pic 31] con pendiente [pic 32]. Las rectas [pic 33] y [pic 34] son paralelas si y sólo si [pic 35].
[pic 36]
Si [pic 37] y [pic 38] son paralelas, entonces [pic 39], lo que implica que
[pic 40].
De manera recíproca, si [pic 41], es decir, si
[pic 42],
entonces [pic 43], lo que implica que [pic 44] y [pic 45] son paralelas.
Condición de perpendicularidad entre dos rectas
Sean las rectas [pic 46] con pendiente [pic 47] y [pic 48] con pendiente [pic 49]. Las rectas [pic 50] y [pic 51] son perpendiculares si y sólo si [pic 52].
[pic 53]
Si [pic 54] y [pic 55] son perpendiculares, entonces
[pic 56],
o sea,
[pic 57],
lo que implica que
[pic 58].
De aquí,
[pic 59],
es decir,
[pic 60].
De manera recíproca, si [pic 61], es decir, si
[pic 62],
entonces
[pic 63],
lo que implica que [pic 64], o sea, [pic 65] y [pic 66] son perpendiculares.
Ecuación punto - pendiente de la recta
Sea [pic 67] una recta que pasa por el punto [pic 68] y tiene pendiente [pic 69]. Un punto [pic 70] del plano pertenece a la recta [pic 71], si y sólo si
[pic 72],
o sea,
[pic 73].
Esta ecuación se llama ecuación punto - pendiente de la recta [pic 74].
Nota: Una recta paralela o coincidente con el eje Y no tiene pendiente, por lo cual no existe una ecuación de este tipo para dicha recta.
Ecuación explícita o pendiente – ordenada al origen de la recta
De la ecuación punto – pendiente
[pic 75]
de la recta [pic 76] se tiene
[pic 77].
Haciendo [pic 78] se tiene
[pic 79].
Esta ecuación se llama ecuación pendiente – ordenada al origen de la recta [pic 80]. El número [pic 81] se llama ordenada al origen de la recta [pic 82] y representa la ordenada del punto en que la recta corta al eje Y.
Ecuación de una recta que pasa por dos puntos
Sea [pic 83] una recta que pasa por los puntos [pic 84] y [pic 85]. La pendiente de [pic 86] está dada por
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