Riems En México

EL CONCEPTO DE DIFERENCIAL

Existen muchas situaciones, dentro y fuera de las matemáticas, en que necesitamos estimar una diferencia, como por ejemplo en las aproximaciones de valores de funciones, en el cálculo de errores al efectuar mediciones (Valor real menos valor aproximado) o simplemente al calcular variaciones de la variable dependiente cuando la variable independiente varía "un poco", etc. Utilizando a la recta tangente como la mejor aproximación lineal a la función en las cercanías del punto de tangencia, aproximaremos esta DIFERENCIA con la diferencia sobre la recta tangente, a la que llamaremos EL DIFERENCIAL de la función en el punto.

DEFINICION Y EJEMPLOS

Consideremos la siguiente ilustración en donde aproximamos a la función f por su recta tangente.

Considerando que la recta tangente es la mejor aproximación lineal a la gráfica de f en las cercanías del punto de tangencia PT, si le llamamos a la variación de f cuando x varía de xo a xo + h y a la variación de la recta tangente en el mismo rango de variación en x, podemos afirmar que para valores de h "cercanos" a 0, estas dos variaciones son muy parecidas, es decir,  f   RT .

Podemos expresar a  RT en términos de h y el ángulo  que forma la recta tangente con el eje de las abscisas. En el triángulo de la figura, que extraemos a continuación, se observa lo siguiente:

En virtud de que  RT es un aproximador de la DIFERENCIA  f, lo definiremos como EL DIFERENCIAL DE f en el punto xo, con respecto al incremento h y lo denotaremos por df, es decir,

df = f '(xo)h

Observación: El diferencial, en general depende de h y del punto xo. Por ejemplo el diferencial de f(x) = x2 es:

df = f ' (xo)h = (2xo)h

que también lo podemos expresar como:

d(x2) = (2xo)h

Si especificamos el punto xo, el diferencial dependerá únicamente de h, como se aprecia en los siguientes ejemplos:

a) El diferencial de f(x) = x2 en xo =3 es d(x2) = 6h

b) El diferencial de f(x) = x2 en xo =7 es d(x2) = 14h

c) El diferencial de f(x) = x3 en xo =2 es d(x3) = 12h

En el caso de la función identidad f(x) = x, como f '(xo) = 1 para todo xo, su diferencial nos queda como df = f '(xo)h = h o bien dx = h

Como h es el diferencial de la función identidad, podemos re-escribir el diferencial de una función f derivable en xo, como:

df = f '(xo)dx

Esta expresión nos dice que la variación de una función f es aproximadamente proporcional a la variación de su variable independiente, donde la constante de proporcionalidad es la derivada en el punto en cuestión.

En los siguientes ejemplos estimaremos la variación  f para xo y h dados y la compararemos con el diferencial.

Ejemplo . Verifique que:

a) Para f(x) = x2 se cumple que  f  df en xo = 1 y h = 0.1

Solución:

 f = f(1.1) - f(1) = 1.21 - 1 = 0.21

df = f ' (1)dx =(2x|x=1 )(0.1) = (2)(0.1) = 0.20

La variación real difiere de la aproximada en una centésima.

Observación: El punto xo + h es un punto cercano a xo, que se encuentra a la derecha de éste si h es positivo y a la izquierda si h es negativo. En el siguiente ejemplo consideraremos un incremento negativo.

b) Para f(x) = x2 se cumple que  f  df en xo = 1 y h = -0.1

Solución:

 f = f(0.9) - f(1) = 0.81 - 1 = -0.19

df = f ' (1)dx =(2x|x=1 )(-0.1) = (2)(-0.1) = -0.20

La variación real difiere de la aproximada en una centésima..

c) Para f(x) = x2 se cumple que  f  df en xo = 2 y h = 0.006

Solución:

 f = f(2.006) - f(2) = 4.024036 - 4 = 0.02403

df = f ' (2)dx =(2x|x=2 )(0.006) = (4)(0.006) = 0.02400

La variación real difiere de la aproximada en tres cienmilésimas

.

d) Para f(x) = se cumple que  f  df en xo = 8 y h = 0.2

Solución:

 f = f(8.2) - f(8) = 2.016529 - 2 = 0.016529

df = f ' (8)dx =( |x=8 )(0.2) = (1/12)(0.2) = 0.016666

La variación real difiere de la aproximada en una diezmilésima.

e) Para f(x) = se cumple que  f  df en xo = 64, h = 0.2

Solución:

 f = f(64.2) - f(64) = 4.004162334 - 4 = 0.004162334

df = f ' (649)dx =( |x=64 )(0.2) = (1/48)(0.2) = 0.00416666

La variación real difiere de la aproximada en cuatro millonésimas.

f) Para f(x) = sen(x) se cumple que  f  df en xo =  /3, h = 0.1

Solución:

 f = f( /3 + 0.1) - f( /3) = 0.9116155 - 0.8660254 = 0.04559

df = f ' ( /3)dx =(cos(x)|x= /3 )(0.1) = (0.5)(0.1) = 0.050

La variación real difiere de la aproximada en cinco milésimas.

Observación: En todos los ejemplos anteriores comprobamos que  f  df en el punto e incremento dados, sin embargo tanto  f como df son muy pequeños, casi iguales a cero, y decir que éstos son muy parecidos parece trivial. En realidad éstos dos números son muy parecidos en el sentido de que

...