Rotación de ejes

Traslación de ejes:

     La traslación es el deslazamiento de un cuerpo de un punto a otro con una dirección determinada, si se toma como ejemplo el movimiento de traslación del planeta tierra se forma una traslación alrededor del sol porque una circunferencia es una curva plana donde cada punto tiene la misma distancia desde el centro. La tierra a pesar de que se desplaza, forma una circunferencia y siempre está a la misma distancia del sol.

     Una vez que el origen de un sistema de ejes x e y se cambia al punto O´(xo, yo) en el sistema original, es necesario dar a cada punto p(x, y) en el sistema original un nuevo conjunto de coordenadas p´(x´, y´) en el nuevo sistema, de acuerdo con las siguientes relaciones:

x = x´ + xo
y = y´ + yo

Rotación de ejes:

     Rotación es el sentido u orientación en el que un cuerpo gira sobre su propio eje, un ejemplo es el movimiento de la tierra donde gira sobre su mismo eje, formando una figura geométrica circular o más bien una circunferencia, también al trazar una circunferencia con el compás, por más amplio o angosto se haga el trazado siempre se mantiene su eje y la distancia entre el eje y cualquier punto es la misma.

     Si los ejes originales X y Y rotan en sentido contrario al reloj un ángulo [pic 1], para cualquier punto P(x, y), las coordenadas originales (x,y) se convierten en las nuevas coordenadas (x ´, y ´), que son:

x ´ = x cos [pic 2] + y sen [pic 3]
y´ = - x sen [pic 4] + y cos [pic 5]

     Para derivar la ecuación en las nuevas coordenadas, necesitamos expresar las coordenadas originales en las nuevas coordenadas:

x = x ´ cos [pic 6] - y ´ sen [pic 7]
y = x ´ sen [pic 8] + y cos [pic 9]

Parábola:

    Una parábola es el conjunto de todos los puntos de un plano que son equilibrantes de un punto fijo F llamado foco y de una recta fija l denominada directriz situados en el plano.

[pic 10]

Elipse:

     Una elipse es el conjunto de todos los puntos en un plano, tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos en el plano (los focos) es constante.

[pic 11]

Hipérbole:

     Una hipérbole es el conjunto de todos los puntos en un punto plano, tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano llamados focos, es una constante positiva.

[pic 12]

Teoremas sobre cónicas:

     Teorema de Dandelin: dadas dos esferas tangentes a un cono y a un plano que lo corta, los puntos de tangencia de las esferas con el plano son los focos de la cónica determinada por el plano sobre el cono. Este teorema hizo más sencillo el modo de probar teoremas anteriores, que son los siguientes:

     El primer teorema es que una elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos (los focos) es constante. Esto ya era conocido por los antiguos matemáticos griegos como Apolonio de Perga, pero las esferas de Dandelin facilitan la prueba de dicho teorema.

     El segundo teorema es que para cualquiera de las secciones cónicas, la distancia de un punto fijo (el foco) es proporcional a la distancia desde una línea fija (directriz), la constante de proporcionalidad es la llamada excentricidad. Una vez más, este teorema ya era conocido por los antiguos griegos, como Pappus de Alejandría, pero las esferas de Dandelin nuevamente facilitan la prueba.

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