Series Matematicas

Introducción:

El propósito principal de este trabajo es mostrar cómo se puede usar las series y sucesiones en matemáticas.

Es importante mencionar que las series y las sucesiones se encuentran presentes en nuestra vida diaria, recordemos que las series permiten entender la idea de querer sumar una cantidad infinita de sumandos (tantos sumandos como números naturales); esto significa que se le asigna a cada entero positivo n un número a una variable, a este número se le llama n-esimo de la sucesión. A medida que n, la variable tiende a un número L, por lo que se le llama el límite de la sucesión esto significa que entre más incremente la sucesión se aproximara con mayor probabilidad a su límite; por ejemplo un automovilista cuando llega al estacionamiento el automóvil entra en una sucesión que es el rodaje de sus llantas y se aproxima a las líneas que dividen cada espacio.

También se verá que el uso principal de una serie de potencias se debe a que proporcionan un medio de representar algunas de las funciones más importantes que surgen en matemáticas, física y química.

Y también se aprenderá a representar ciertos tipos de funciones como suma de series de potencias analizando las series geométricas, diferenciales e integrando series.

Dentro de este trabajo también analizaremos la serie de taylor que fue elaborada por el inglés Brook Taylor y la serie de Mclaurin en honor al matemático escoses Colin Maclaurin.

Series

Una serie es una sucesión de un conjunto de términos formados según una ley determina.

Por ejemplo, 1,4,9,16,25

Es la suma indicada de los términos de una secesión. Así de las sucesiones anteriores obtenemos la serie:

1+4+9+16+25

Cuando el número de términos es limitado, se dice que la sucesión o seri esfinita. Cuando el número de términos es ilimitado, la sucesión o seriede llamasucesión infinita.

El término general ó término enésimo es una expresión que indica la ley de formación de los términos.

Serie Finita

Sucesión de números tales que la proporción entre cualquier término (que no sea el primero)

y el término que le precede es una cantidad fija llamada razón. Por ejemplo, la secuencia de números 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 es una progresión geométrica con razón 2; y 1, 1, 3, 7, 9, >, … (1)i, es una progresión geométrica con razón 1.

La primera es una progresión geométrica finita con siete términos; la segunda es una progresión geométrica infinita.

Serie Infinita

Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales.

Son series de la forma S an (x - x0)n ; loss números reales a0, a1, .... , an, ... son los coeficientes de la serie. Si x0 = 0 se obtiene la serie S an . xn.

Como toda serie S an (x - x0)n puede llevarse a la forma S an .x¢ n haciendo x¢ = x - x0 ; solo estudiaremos series de potencias de este último tipo.

Se presentan tres situaciones posibles: series que convergen solamente para x = 0; series que convergen para cualquier número real x y series que convergen para algunos valores de x y divergen para otros. Esto conduce al siguiente:

Teorema:

Si la serie de potencias S an .xn converge para el valor x0 ¹ 0, entonces converge en valor absoluto para cualquier x / ô xô < ô x0ô .

Serie numérica y convergencia. Prueba de razón y raíz.

Una secuencia es una lista ordenada de objetos (o eventos). Como un conjunto, que contiene los miembros (también llamados elementos o términos ), y el número de términos (posiblemente infinita) se llama la longitud de la secuencia. A diferencia de un conjunto, el orden importa, y exactamente los mismos elementos pueden aparecer varias veces en diferentes posiciones en la secuencia. Una secuencia es una discreta función.

CONVERGENCIA DE UNA SERIE.-

La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de que verifica que , donde r es un número real radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de pertenecientes al intervalo , ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para , . Si lo hace para cualquier valor de ,

Ejemplos

Mostraremos el radio de convergencia de algunos desarrollos en series de potencias con sus respectivos radios de convergencia sin justificar por qué el radio de convergencia es el dado.

Radio de convergencia finito

La función en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencias , tiene el siguiente aspecto:

.

(Para el cálculo de la serie vea serie de Taylor). Su radio de convergencia es . Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al es menor que , por ejemplo el , entonces al remplazarlo en la serie el resultado de calcular la serie será el mismo que remplazarlo en la función, de hecho

.

(La cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado

.

Pero si tomamos un elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo el , al remplazarlo en la serie, ésta será divergente (por eso el nombre de radio de convergencia). Efectivamente:

.

Distancia a la singularidad

El cálculo del radio de convergencia no es simple. Veamos una función con dos desarrollos en serie con distintos centros y analicemos sus radios de convergencia. La misma función en su desarrollo con centro tiene la forma:

.

Pero en este caso su radio de convergencia es . Notemos que la función tiene una singularidad en el 1; y que en los dos caso anteriores el radio de convergencia coincide con la distancia del centro a la singularidad: y . Esto será siempre verdadero para ésta función, pero, no puede generalizarse, como veremos en el siguiente ejemplo:

Como no hay singularidades reales podría suponerse que el radio es infinito, sin embargo su radio de convergencia es . Este radio parece caprichoso pero tiene que ver con el hecho de que pasando la función a dominio complejo, existe una singularidad en el denominador.

Radio de convergencia infinito

Por ejemplo, la función exponencial puede desarrollarse en series de potencia de , de hecho .

y esto vale para todo real por eso el radio de convergencia será infinito.

SERIE DE POTENCIAS Y SU CONVERGENCIA

• Las series de potencias

Una serie del tipo:

a0 + a1x + a2 x2 + a3x3 +K+ an xn +K

Ordenada por potencias enteras crecientes de la variable x y con coeficientes, a0 a1 a2 K a K constantes, independientes de x , recibe el nombre de serie de potencias.

A menudo consideramos la serie de potencias en una forma más general:

a_o+ a_1 (x-a)+ a_2 (x-a)^2+ a_3 (x-a)^3+⋯+ a_n (x-n)^n

Donde a es otra constante. De hecho, por el Mathboch de “Aplicaciones de las derivadas” sabemos

Que este tipo de series reciben el nombre de series de MacLaurin y de Taylor, respectivamente. Una

Serie de Taylor puede ser reducida a una de MacLaurin mediante el siguiente cambio de variable:

x −a = x'

En lo que concierne a la convergencia de series, trataremos sólo las series de MacLaurin puesto que las de Taylor se reducen a las primeras mediante un simple cambio de variable.

• Convergencia de una serie de potencias

Investiguemos la convergencia de una serie de potencias de MacLaurin cualquiera. Asignando un

Valor numérico particular a la variable x , se obtiene una serie que convergirá o divergirá dependiendo del valor de la x .

Vamos a demostrar que para cualquier serie de potencias existe un número finito o infinito r llamado radio de convergencia de la serie tal que si r > 0, entonces para x < r la serie converge y para x > r, la serie diverge. Para x = r, es decir, para x = r y x = −r, la serie converge o diverge. El intervalo abierto ] [ −r,r recibe el nombre de intervalo o círculo de convergencia de la serie de potencias considerada. Si r = ∞, el intervalo de convergencia es toda la recta real. Por el contrario, si r = 0, la serie de potencias converge sólo en el punto x = 0 y, hablando rigurosamente, no hay intervalo de convergencia.

En muchos casos podemos determinar el intervalo de convergencia de una serie de potencias con la ayuda del criterio de convergencia de d’Alembert. A dicho efecto, construimos —en primer lugar— la serie compuesta por los valores absolutos de los términos de la serie, que será una serie de números reales positivos:

la0l + la1ll xl + la2l x2l +l a3l x3l +Kll+l anl xnl +…

Como mostramos en el Mathblock de “Series de números reales”, si la serie que acabamos de escribir converge, entonces la serie original será absolutamente convergente. Llamemos al (n+1)-ésimo término de la serie n s . Éste y el siguiente son iguales, respectivamente, a:

s_n= |a_n ||x^n | s_(n+1)= |a_(n+1) | |x^(n+1) |

Formemos, ahora, la razón entre ambos con el fin de aplicar el criterio de d’Alembert:

s_(n+1)/s_n = |a_(n+1) |/|a_1 | |x|

Supongamos que el límite cuando n →∞ de esta razón existe y vale l. Es decir que:

lim┬(n→∞)⁡〖〖|a_(n+1)

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