MATEMÁTICA PARA INGENIEROS SERIES DE TAYLOR Y DE LAURENT
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[pic 1][pic 2]
MATEMÁTICA PARA INGENIEROS
🙢 SERIES DE TAYLOR Y DE LAURENT
Ing. Adriana Apaza Prof. Adjunto
1
Teorema de Taylor
Sea f (z) función analítica en un dominio D, entonces si z0 pertenece a D, existe la serie de potencias[pic 3][pic 4][pic 5]
f (z)
= ∑cn (z −
n=0[pic 6]
z )n
∀z /
z − z0 < r
cn =
f (n) (z ) =
n![pic 7][pic 8]
1
2πi[pic 9][pic 10][pic 11]
∫ (z
f (z) dz
− z )n+1[pic 12][pic 13][pic 14]
El Teorema de Taylor indica que:
- Toda función f analítica en z0 es la suma de una serie con términos en potencias de (z − z0), llamada Serie de Taylor .
- Los coeficientes de la serie se obtienen con la ecuación
c = f n (z0). Como una función analítica tiene derivadas de[pic 15][pic 16][pic 17]
n!
todos los órdenes todos los coeficientes están definidos.
- Siempre que z pertenezca al interior del mayor círculo centrado en z0 donde f es analítica, la serie de Taylor convergerá a f(z).
- El radio del círculo de convergencia es exactamente igual a la distancia entre z0 y la singularidad de f más próxima en el plano complejo.
Desarrollar f(z)=sen z alrededor de z0=0 (serie de Mclaurin):
𝑓 𝑧 = 𝑠𝑒𝑛𝑧[pic 18]
𝑓´ 𝑧 = 𝑐𝑜𝑠𝑧[pic 19]
𝑓´´ 𝑧 = −𝑠𝑒𝑛𝑧[pic 20]
𝑓´´´ 𝑧 = −𝑐𝑜𝑠𝑧[pic 21]
𝑓 4 𝑧 = 𝑠𝑒𝑛𝑧[pic 22][pic 23]
𝑓 5 𝑧 = 𝑐𝑜𝑠𝑧[pic 24][pic 25]
⋮
𝑓 2𝑛 0 = 0[pic 26][pic 27]
𝑓 2𝑛+1 0 = (−1)𝑛[pic 28][pic 29]
𝑓 0 = 0
𝑓´ 0 = 1[pic 30][pic 31]
𝑓´´ 0 = 0[pic 32]
𝑓´´´ 0 = −1[pic 33]
𝑓 4 0 = 0[pic 34][pic 35]
𝑓 5 0 =1[pic 36][pic 37]
⋮
1
𝑠𝑒𝑛𝑧 = 𝑧 −[pic 38]
3!
𝑧3 + 1
5![pic 39]
𝑧5 − 1
7![pic 40]
𝑧7 + 1
9![pic 41]
𝑧9 − 1
11![pic 42]
𝑧11 + ⋯
∞
𝑠𝑒𝑛𝑧 =
𝑛=0
𝑓 𝑛 (0)
[pic 43]
𝑛![pic 44]
∞
𝑧𝑛 =
𝑛=0
(−1)𝑛 (2𝑛 + 1)!
𝑧2𝑛+1[pic 45]
𝑧 < ∞[pic 46][pic 47]
Ejemplo:[pic 48]
Encontrar la serie de Taylor para en z0=0
f (z)[pic 49]
= 1 , 1− z
f ′(z) =
1
(1− z)2 ,[pic 50]
f ′ (z) =
2
(1− z)3 ,[pic 51][pic 52]
f ′′(z) =
...