Simulacion

Distribuciones.

• Distribución uniforme

La distribución Uniforme es el modelo (absolutamente) continuo más simple de distribuciones de probabilidad para variables aleatorias continuas Corresponde al caso de una variable aleatoria que sólo puede tomar valores comprendidos entre dos extremos a y b, que sean de igual longitud (dentro de (a, b)) teniendo en su rango la misma probabilidad. También puede expresarse como el modelo probabilístico correspondiente a tomar un número al azar dentro de un intervalo (a, b).

De la anterior definición se desprende que la función de densidad debe tomar el mismo valor para todos los puntos dentro del intervalo (a, b) (y cero fuera del intervalo).

Es decir:

Gráficamente:

La función de distribución se obtiene integrando la función de densidad y viene dada por:

Gráficamente:

Propiedades del modelo Uniforme.

1. Su esperanza vale (b + a)/2

2. Su varianza es (b − a)2/12

Distribución uniforme (caso continuo).

Distribución exponencial.

La distribución exponencial es el equivalente continuo de la distribución geométrica discreta.

Esta ley de distribución describe procesos en los que los siguientes puntos deben tomarse en cuenta:

• Tiempo en el que ocurre determinado evento, sabiendo que:

o el tiempo que pueda ocurrir desde cualquier instante dado t, hasta que ello ocurra en un instante tf, no depende del tiempo transcurrido anteriormente en el que no ha pasado nada.

Ejemplos de este tipo de distribuciones son:

• Tiempo que tarda una partícula radiactiva en desintegrarse.

• El conocimiento de la ley que sigue este evento se utiliza en Ciencia para, por ejemplo, la datación de fósiles o cualquier materia orgánica mediante la técnica del carbono 14, C14.

• El tiempo que puede transcurrir en un servicio de urgencias, para la llegada de un paciente.

• En un proceso de Poisson donde se repite sucesivamente un experimento a intervalos de tiempo iguales, el tiempo que transcurre entre la ocurrencia de dos sucesos consecutivos sigue un modelo probabilístico exponencial. Por ejemplo, el tiempo que transcurre entre que sufrimos dos veces una herida importante.

En resumen, si una v.a. continua X distribuida a lo largo de , es tal que su función de densidad es

Se dice que sigue una distribución exponencial de parámetro :

.

*

Un cálculo inmediato nos dice que si x>0,

Luego la función de distribución es:

*

UTILIDAD DE LA DISTRIBUCION EXPONENCIAL.

Considerándola cómo un modelo adecuado para la distribución de probabilidad del tiempo de espera entre dos hechos que sigan un proceso de Poisson.

La distribución exponencial puede derivarse de un proceso experimental de Poisson con las mismas características que las que enunciábamos al estudiar la distribución de Poisson, pero tomando como variable aleatoria, en este caso, el tiempo que tarda en producirse un hecho.

Obviamente, entonces, la variable aleatoria será continua.

Por otro lado existe una relación entre el parámetro a de la distribución exponencial, que más tarde aparecerá, y el parámetro de intensidad del proceso l, esta relación es a = l

Al ser un modelo adecuado para estas situaciones tiene una gran utilidad en los siguientes casos:

• Distribución del tiempo de espera entre sucesos de un proceso de Poisson.

• Distribución del tiempo que transcurre hasta que se produce un fallo, si se cumple la condición que la probabilidad de producirse un fallo en un instante no depende del tiempo transcurrido .Aplicaciones en fiabilidad y teoría de la supervivencia.

Función de densidad.

Dada una variable aleatoria X que tome valores reales no negativos {x ³ 0} diremos que tiene una distribución exponencial de parámetro a con a ³ 0, si y sólo si su función de densidad tiene la expresión:

Diremos entonces que:

Gráficamente como ejemplo planteamos el modelo con parámetro a =0,05

En consecuencia, la función de distribución será:

Distribución de Weibull

Es un modelo continuo asociado a variables del tiempo de vida, tiempo hasta que un mecanismo falla, etc. Complementa a la distribución exponencial y a la normal.

La función de densidad de este modelo está dada por:

Qué, Cómo vemos, depende de dos parámetros:

• α > 0 y β >0, donde

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