Sistemas De Segundo Orden
Enviado por pedrin1990 • 29 de Octubre de 2012 • 627 Palabras (3 Páginas) • 691 Visitas
Se obtienen las frecuencias naturales que se utilizarán para escribir la solución homogénea de la ecuación diferencial, esto es:
P(λ)=λ^2+2αλ+ω_n^2=0
cuyas raíces (frecuencias naturales, en el contexto de sistemas) se pueden calcular utilizando la fórmula para ecuaciones de segundo grado:
λ_1,2=(-2α(_-^+)√((2α)^2-4(1)(ω_n^2 )))/(2(1))
o bien:
λ_1,2=-α(_-^+)√(α^2-ω_n^2 )
de la expresión anterior se deduce con facilidad que, dependiendo de los valores de α ,(factor de amortiguamiento real) y de wm(frecuencia natural de amortiguamiento), las raíces pueden ser:
-Reales diferentes
-Reales e iguales
-Complejas
-Imaginarias
a partir de las cuales se definen cuatro comportamientos característicos que pueden tener los sistemas de segundo orden:
a) Frecuencias naturales reales diferentes.
Condición.
α>ω_n
o bien
ζ>1
La solución homogénea asociada a la ecuación diferencial es de la forma:
y(t)_hom=k_1 e^(λ_1 )+k_2 e^(λ_2 t)
al graficar la solución contra el tiempo se obtiene :
En este caso se dice que el sistema tiene un comportamiento SOBRE-AMORTIGUADO.
b) Frecuencias naturales reales e iguales
Condición.
α=ω_n
o bien
ζ=1
La solución homogénea asociada a la ecuación diferencial es de la forma:
y(t)_hom=k_1 e^(λ_0 t)+k_2 te^(λ_0 t)
al graficar la solución contra el tiempo se obtiene:
En este caso se dice que el sistema tiene un comportamiento CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO.
c) Frecuencias naturales complejas.
Condición.
0<α<ω_n
o bien
0<ζ<1
La solución homogénea asociada a la ecuación diferencial es de la forma:
y(t)_hom=k_1 e^(-αt) e^jβt+k_2 e^(-αt) e^(-jβt)
o bien:
y(t)_hom=e^(-αt) (k_1 e^jβt+e^(-jβt))
recuérdese:
e^jx=cosx+jsenx
e^(-jx)=cosx-jsenx
de modo que la solución se escribe como:
y(t)_hom=e^(-αt) (k_1 (cosβt+jsenβt)+k_2 (sosβt-jsenβt))
y agrupando:
y(t)_hom=e^(-αt) ((k_1+k_2 )cosβt+j(k_1+k_2 )senβt)
para tener una función y(t)_hom real o de variable real, es necesario que, k1y k2sean números complejos conjugados , esto es:
k_1=a+jb ; k_2=a-jb
de modo que
k_1+k_2=a+jb+a-jb=2a=c_1
j(k_1+k_2 )=j(a+jb-a+jb)=j^2 (2b)=c_2
así, la solución homogénea se escribe como:
y(t)_hom=e^(-αt) (c_1 cosβt+c_2 senβt)
al graficar la solución contra el tiempo se obtiene:
En este caso se dice que el sistema tiene un comportamiento SUBAMORTIGUADO.
d) Frecuencias naturales imaginarias:
Condición.
α=0
o bien
ζ=0
La solución homogénea asociada a la ecuación diferencial es de la forma:
y(t)_hom=k_1 e^jβ+〖k_2
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