Solucion Degenerada-metodo Grafico

Ejemplo 1-14. Método gráfico, PL en mínimo con restricciones >= (MINCAN1).

Figura 1-39. Gráfica del ejemplo MINCAN1, resulta un conjunto factible abierto.

Figura 1-40. Regiones factibles del ejemplo MINCAN1.

Observe el valor de la función objetivo, es mínimo en el vértice C(2,4) con Zc = 14.

El conjunto de soluciones factibles de la Figura 1-39 de este problema, es no acotado, se obtiene sobreponiendo las regiones factibles de las tres restricciones del modelo y la región factible del primer cuadrante, mostradas en la Figura 1-40

Un vértice formado con mas de dos líneas rectas, se califica como solución no única, como son los vértices O y C que se pueden formar con tres combinaciones de intersección según se muestra en el gráfico de la Figura 1-39 para tales puntos. En particular, el vértice C se denomina como solución degenerada pues es factible y no único. El origen O, se califica como no factible, al igual que la infinidad de puntos restantes (sean vértices o no), que no pertenecen al conjunto factible, sombreado entre las rectas (1), (2) y eje X1.

Un punto vértice de solución degenerada en la analogía geométrica bidimensional se tiene con una recta restricción redundante en ese punto, pero tal recta no forma el conjunto factible.

La forma estándar requiere que todas las restricciones sean de igualdad, pero cuando el modelo en estudio tiene restricciones de tipo >=, se usa una holgura negativa Si llamada variable de superávit, la cual debe restarse a cada una de esas restricciones como sigue:

Figura 1-41. Concepto físico de superavit en restricción 1, ejemplo MINCAN1.

De esta manera, el espacio de dos dimensiones de la Figura 1-39 y Figura 1-40, se amplía a un espacio de 5 dimensiones que no se puede dibujar, pero si tratar analíticamente.

La tabla de la Figura 1-42 muestra las coordenadas o valor para cada una de las variables en el problema Ejemplo 1-14, MINCAN1, ampliado a 5 dimensiones (2 variables de decisión más 3 variables superávit), al pasar a forma estándar; se conservan los valores (X1, X2) obtenidos en la solución gráfica de la Figura 1-39 y se sustituyen en la forma estándar para calcular el valor de S1, S2, S3, variables restadas en el lado izquierdo de las restricciones. En la tabla, cada renglón se identifica con cada vértice de la Figura 1-39, pero debido a la ampliación del espacio, se convierten en solución básica pues tienen, por lo menos: n = (m + n) - m = (3 + 2) - 3 = 2 variables de valor cero. Pero los puntos extremos O y C, tienen mas de 2 variables nulas, en este caso con 3 variables cero, se identifican comosoluciones básicas no únicas y en particular C es una solución básica degenerada.

Supóngase ahora que la función objetivo Z se cambia para máximo, en tal caso el traslado hacia fuera del cuadrante, de la línea recta correspondiente a la función Z, con el propósito de incrementar el valor de las variables X1 y X2, resulta en un incremento indefinido para el valor de dicha función y por lo tanto sin límite.

Sustituyendo (X1, X2) de los dos vértices de la región factible se obtiene el óptimo como mínimo ZC = 14:

Figura 1-42. Sistema ampliado a 5 dimensiones en ejemplo MINCAN1.

Ejemplo 1-15. Método gráfico, PL en máximo y mínimo, restricciones <= y >= (MAXMIN1).

Este nuevo ejemplo inicia una serie de variantes a partir del Ejemplo 1-14, se estima que el estudiante fija mas conocimiento cuando tiene oportunidad de comparar los efectos de los cambios en el mismo problema, se pretende responder a: ¿qué pasaría sí.....?

Como se puede ver en la Figura 1-44, el efecto inmediato del cambio es que ahora se tiene un conjunto factible acotado, que permite calcular para la función Z el máximo y también el

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