Solución De Problemas De Programación Lineal

1.1. MODELACIÓN DE PROBLEMAS LINEALES Ejercicios 2.2A

Ejercicio 4

En dos productos se requieren tres procesos consecutivos. El tiempo disponible para cada proceso es de 10 horas diarias. La tabla siguiente resume los datos del problema.

a) Determine la combinación óptima de fabricación de los dos productos.

i. Variables de decisión:

x1=producción del producto 1.

x2= producción del producto 2.

ii. Función objetivo:

Máx. z= 2x1+3 x2

iii. Restricciones:

s.a. 10x1+5x2≤600

6x1+18x2≤600

8x1+10x2≤600

x1,x2≥0

iv. Cálculo en Excel

X1 X2

P1 10 5 600 <= 600

P2 6 18 600 <= 600

P3 8 10 576 <= 600

F.O 2 3 152

X1 X2 Z

Solución 52 16 152

v. Respuesta inciso “a”:

La combinación óptima en la fabricación de los productos 1 y 2 para obtener la utilidad óptima de 152 unidades monetarias, considerado el tiempo en minutos que se destina a los tres procesos de la fabricación, es producir 52 productos del tipo 1 y 104 productos del tipo 2.

b) Determine un procedimiento para priorizar los tres procesos, para una posible ampliación.

i. Análisis de sensibilidad para términos independientes Tabla 1:

Restricciones

Sombra Restricción Límite Límite

Proceso Precio Lado derecho Mínimo Máximo

P1 0.12 600 -1E+30 642.857143

P2 0.13333333 600 -1E+30 660

P3 0 600 576 1E+30

Se establece que para priorizar un procedimiento será indispensable considerar cuál de estos tres procedimientos puede significar mayor utilidad para la empresa por cada minuto adicional utilizado en cada uno de los procesos.

Considerando los datos de la Tabla 1 enseguida se muestran los cálculos acerca de cuanto se modificara la utilidad (función objetivo) si utilizamos un minuto adicional en cada uno de los procesos involucrados en la producción del producto 1 y 2.

V(PN)= Nuevo valor óptimo (utilidad) para N proceso

Proceso 1: V (P1)= 152+ (601-600)*0.12= 152.12

Proceso 2: V (P2)= 152+ (601-600)*0.13= 152.13

Proceso 3: V (P3)= 152+ (601-600)*0 = 152

En el Proceso 1, considerando que su intervalo tiene un mínimo que va de -∞ hasta un máximo de 642.857143 [-∞,642.857143], es posible aumentar un minuto para dicho proceso. Se tiene entonces que la nueva utilidad óptima que se obtiene con el aumento de un minuto en el Proceso 1 es de 152.12 unidades monetarias.

En el Proceso 2, considerando que su intervalo tiene un mínimo que va de -∞ hasta un máximo de 660 [-∞, 660], es posible aumentar un minuto para dicho proceso. Se tiene entonces que la nueva utilidad óptima que se obtiene con el aumento de un minuto en el Proceso 2 es de 152.13 unidades monetarias.

En el Proceso 3, considerando que su intervalo tiene un mínimo que va de 576 hasta un máximo de ∞ [576, ∞], es posible aumentar un minuto para dicho proceso. Se tiene entonces que la nueva utilidad óptima que se obtiene con el aumento de un minuto en el Proceso 3 es de 152 unidades monetarias, es decir, no aumenta ni disminuye.

ii. Respuesta inciso “b”:

Se concluye que el procedimiento para priorizar la implementación de uno de los procesos, con el objetivo de expansión, se basara en implementar primeramente aquel proceso que por cada minuto adicional que utilicemos maximice nuestra utilidad.

Por lo tanto el Proceso 2 es el proceso que tiene prioridad para ser implementado, ya que genera un incremente de 0.13 unidades monetarias por cada minuto adicional que se utiliza en dicho proceso.

En seguida se implementaría el Proceso 1 ya que genera un incremente de 0.12 unidades monetarias por cada minuto adicional que se utiliza en dicho proceso.

Y por último se implementaría el Proceso 3 puesto que no genera incremento alguno en las utilidades por cada minuto adicional que se utiliza en dicho proceso.

c) ¿Qué pasa si hay aumentos en los procesos y la utilidad para el producto 2 baja a 2 u.m.?

i. Análisis de sensibilidad para coeficientes de la función objetivo Tabla 2:

Celdas de variables

Final Objetivo Límite Límite

Nombre Valor Coeficiente Mínimo Máximo

Solución X1 52 2 1 6

Solución X2 16 3 1 6

ii. Nuevo Cálculo en Excel:

X1 X2

P1 10 5 600 <= 600

P2 6 18 600 <= 600

P3 8 10 576 <= 600

F.O 2 2 136

X1 X2 Z

Solución 52 16 136

iii. Respuesta inciso “c”.

Ya que el intervalo de precio en el que él Producto 2 puede aumentar o disminuir va de 1 a 6 unidades monetarias [1,6], si el precio de este producto fueran 2 unidades monetarias aún se encontraría dentro del intervalo mencionado.

Lo que sucedería entonces, es que la producción del Producto 1 deberá seguir siendo 52 productos y de igual manera para el Producto 2 la cantidad que deberá producirse será 16 productos, es decir no se modifican los coeficientes en la función objetivo, pero se obtendría una nueva utilidad óptima de 136 unidades monetarias.

Por otro lado si existe un aumento en los procesos, es decir en los termino independientes, dicho aumentos deben encontrarse para el Proceso 1 en un intervalo de [-∞,642.857143] lo que incrementaría la utilidad por cada minuto adicional de 0.12 u.m., para el Proceso 2 el incremento debe encontrarse en el intervalo [-∞, 660] y por cada minuto adicional la utilidad aumentará en 0.13 u.m., por último en el Proceso 3 el incremento deberá encontrarse en el intervalo [576, ∞] pero en este caso no afectará la utilidad aumentándola ni disminuyéndola.

d) ¿Qué pasa si el tiempo del proceso 1 disminuye 100 minutos?

i. Nuevo Cálculo en Excel:

X1 X2

P1 10 5 500 <= 500

P2 6 18 600 <= 600

P3 8 10 520 <= 600

F.O 2 3 140

X1 X2 Z

Solución 40 20 140

Proceso 1: V (P1)= 152+ (500-600)*0.12= 140

ii. Respuesta inciso “d”.

El intervalo del Proceso 1 (termino independiente) tiene un mínimo de -∞ hasta un máximo de 642.857143 [-∞,642.857143], es posible disminuir 100 minutos para dicho proceso.

Por lo tanto si se disminuye este proceso a 500 minutos la utilidad optima, por cada minuto que se ha disminuido, disminuirá 0.12 u.m. siendo la nueva utilidad óptima 140 u.m. Ahora se deberán producir 40 productos del tipo 1 y 20 productos tipo 2.

Ejercicio 6

Hylsa fabrica láminas y varillas de hierro. La capacidad de producción máxima se estima en 1200 toneladas de láminas y/o varillas por semana. La demanda semanal a satisfacer es de 550 toneladas de láminas y 580 toneladas de varilla. La utilidad es de 40 u.m. por tonelada de lámina y de 35u.m. por tonelada de varilla.

a) Determine la combinación de producción óptima en una semana que satisfaga la demanda.

i. Variables de decisión:

x1= producción de toneladas de lámina.

x2= producción de toneladas de varilla.

ii. Función objetivo:

Máx. z= 40x1+35 x2

iii. Restricciones:

s.a. x1+x2 ≤1200

x1 ≥550

x2≥580

x1, x2≥0

iv. Cálculo en Excel

X1 X2

P 1 1 1200 <= 1200

DL 1 0 620 >= 550

DV 0 1 580 >= 580

F.O 40 35 45100

X1 X2 Z

Solución 620 580 45100

v. Respuesta inciso “a”:

La combinación óptima en la fabricación semanal de láminas y varillas, que satisface la demanda semanal para obtener la utilidad óptima de 45,100 unidades monetarias, es producir 620 toneladas de lámina y 580 toneladas de varilla.

b) Determine la combinación de producción óptima que satisface exactamente la demanda.

i. Cálculo en Excel

X1 X2

P 1 1 1130 <= 1200

DL 1 0 550 = 550

DV 0 1 580 = 580

F.O 40 35 42300

X1 X2 Z

Solución 550 580 42300

ii. Respuesta inciso “b”:

La combinación óptima de producción semanal de láminas y varillas, que satisface exactamente la demanda semanal para obtener la utilidad óptima de 42300 unidades monetarias, es producir 550 toneladas de lámina y 580 toneladas de varilla.

c) Si la capacidad de producción disminuye a 1000 toneladas semanales y la demanda es la capacidad máxima de ventas por parte del departamento de ventas de la empresa Hylsa. Determine la combinación de producción óptima.

i. Cálculo en Excel

X1 X2

P 1 1 1000 <= 1000

DL 1 0 550 <= 550

DV 0 1 450 <= 580

F.O 40 35 37750

X1 X2 Z

Solución 550 450 37750

ii. Respuesta inciso “b”:

Si la capacidad de producción disminuye a 1000 toneladas semanales y la demanda es la capacidad máxima de ventas por parte del departamento de ventas de la empresa Hylsa, a combinación óptima de producción semanal de láminas y varillas, para obtener la utilidad óptima de 37,750 unidades monetarias, es producir 550 toneladas de lámina y 450 toneladas de varilla.

Ejercicio 7

Una persona desea

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