Superficies Orientadas

Superficies Orientadas

[1] Superficie de Möbius.

La banda de Möbius posee las siguientes propiedades:

Banda de Möbius.

Es una superficie que sólo posee una cara:

Si se colorea la superficie de una cinta de Möbius, comenzando por la «aparentemente» cara exterior, al final queda coloreada toda la cinta, por tanto, sólo tiene una cara y no tiene sentido hablar de cara interior y cara exterior.

Tiene sólo un borde:

Se puede comprobar siguiendo el borde con un dedo, apreciando que se alcanza el punto de partida tras haber recorrido la totalidad del borde.

Es una superficie no orientable:

Si se parte con una pareja de ejes perpendiculares orientados, al desplazarse paralelamente a lo largo de la cinta, se llegará al punto de partida con la orientación invertida. Una persona que se deslizara «tumbada» sobre una banda de Möbius, mirando hacia la derecha, al recorrer una vuelta completa aparecerá mirando hacia la izquierda.

Otras propiedades:

Si se corta una cinta de Möbius a lo largo, se obtienen dos resultados diferentes, según dónde se efectúe el corte.

Si el corte se realiza en la mitad exacta del ancho de la cinta, se obtiene una banda más larga pero con dos vueltas; y si a esta banda se la vuelve a cortar a lo largo por el centro de su ancho, se obtienen otras dos bandas entrelazadas. A medida que se van cortando a lo largo de cada una, se siguen obteniendo más bandas entrelazadas.

Si el corte no se realiza en la mitad exacta del ancho de la cinta, sino a cualquier otra distancia fija del borde, se obtienen dos cintas entrelazadas diferentes: una de idéntica longitud a la original y otra con el doble de longitud.

Esta forma geométrica se utiliza frecuentemente como ejemplo en topología.

Ecuación paramétrica de la superficie de Möbius.

{█(x(r,θ)=2cosθ+rcos(θ/2)@y(r,θ)=2senθ+rcos(θ/2)@θ/2 z(r,θ)=rsen(θ/2) )┤

[2] Integrales de Superficie de Campos Vectoriales

Se supone que S es una superficie orientada con un vector unitario normal n ⃗, e imagine que hay un fluido de densidad ρ(x,y,z) y un campo de velocidad v ⃗(x,y,z) que circula a través de S. (Suponemos que S es una superficie imaginaria que no impide el flujo de fluidos.) Entonces, el caudal (masa por unidad de tiempo) por unidad de área es ρv ⃗. Si divide S en pequeños parches Sij, como en la figura N, entonces Sij es casi plana y puede aproximar la masa del fluido que atraviesa Sij en la dirección de la normal n ⃗ por unidad de tiempo mediante la cantidad

(ρv ⃗∙n ⃗)A(S_ij)

Donde ρ, v ⃗ y n ⃗ se evalúan en algún punto de S_ij. Luego de sumar estas cantidades y obtener

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