TRABAJO COLABORATIVO 2

1. De la siguiente elipse 25x2 + 4y2 = 100. Determine:

a. Centro

b. Focos

c. Vértices

d. Eje menor y eje mayor

e. Gráfica

Solución:

La ecuación: 25x2 + 4y2 = 100, puede escribirse en las formas equivalentes:

x 2 + y 2= 1 (porqué?)

4 25

La última ecuación corresponde a una elipse centrada en el origen cuyo eje mayor es y = 5 y eje menor es x = 2. Además, los focos de la elipse están localizados sobre el eje y.

De otro lado, , de donde y en consecuencia, los focos se encuentran localizados en los puntos y .

Además, los vértices de la elipse son los puntos: V1(2, 0), V2(5, 0), V3(-2, 0) y V4(-5, 0).

GRAFICA

2 Analice la siguiente hipérbola 9x2 – 16y2 – 18x – 64y – 199 = 0. Determine:

a. Centro

b. Focos

c. Vértices

d. Asíntotas

e. Gráfica

Pasamos a forma canónica:

9x²-18x+___-16y²-64y+___ = 199

9(x²-2x+___)-16(y²+4y+___) = 199

9(x²-2x+1)-16(y²+4y+4) = 199+9(1)-16(4)

9(x-1)²-16(y+2)² = 144

Dividiendo entre 144:

(x-1)²/16-(y+2)²/9 = 144

a) Centro en C(1,-2)

b) Para encontrar los focos, necesitamos saber dónde está el centro, qué orientación tiene la hipérbola, y cuál es el valor de la distancia "c", que es la distancia del centro a los focos, y se obtiene con la fórmula:

c² = a² + b²

que es la suma de los denominadores de la forma canónica:

c² = 16 + 9

c² = 25

c = 5

Como la variable "x" quedó en la fracción positiva, la orientación de la hipérbola es horizontal y a la coordenada "x" del centro hay que sumarle y restarle 5:

F(1+5,-2), F'(1-5,-2)

F(6,-2), F'(-4,-2)

c) Vértices. Se requiere el centro, la orientación y el valor de "a" que es la distancia del centro a los vértices. a² se encuentra en el denominador de la fracción positiva y es igual a 16, y a=4, por lo tanto:

V(1+4,-2), V'(1-4,-2)

V(5,-2), V'(-3,-2)

d) Asíntotas. Igualamos a cero la forma ordinaria:

(x-1)²/16-(y+2)²/9 = 0

se factoriza como un producto de binomios conjugados:

[(x-1)/4 + (y+2)/3]*[(x-1)/4 - (y+2)/3]=0

y cada factor se iguala a cero:

(x-1)/4 + (y+2)/3 = 0; (x-1)/4 - (y+2)/3 = 0

3(x-1) + 4(y+2) = 0; 3(x-1) - 4(y+2) = 0

3x-3+4y+8 = 0; 3x-3-4y-8 = 0

3x+4y+5=0; 3x-4y-11=0

e) Gráfica. Localizamos el centro y los vértices:

C(1,-2); V(5,-2), V'(-3,-2)

Trazamos las asíntotas desde el centro, considerando que tienen pendientes m=3/4

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