Tema: Logica y conjuntos
Enviado por juanalaloca7 • 29 de Mayo de 2016 • Apuntes • 8.634 Palabras (35 Páginas) • 587 Visitas
LOGICA
- Proposición lógica
- La Negación
- Cuantificadores.
- Conectivos Lógicos.
Una de las características de la matemática es la lógica, es decir, que una vez determinados los principios básicos, indiscutibles (conocidos como axiomas) se forma la estructura coherente y objetiva.
Se dice a Aristóteles el Padre de lógica, y en ocasiones se cree que es la única, sin embargo podemos encontrar que cada contexto tiene su lógica de acuerdo a la definición. Por mencionar otros personajes tenemos a Russel, Gödel
Nosotros usaremos una lógica basada en que las cosas sean ciertas o falsas, es así que empezamos nuestra construcción con nuestras definiciones.
Def. – Decimos que una proposición lógica o matemática es un enunciado al cual podemos atribuir un determinado valor de verdad, cierto o falso. Usualmente usamos las letras p, q, r para representar a nuestras proposiciones.
Ej. p: hoy es lunes.
q: las aves son invertebrados
r: la ballena es un mamífero.
s: las estaciones del año no son mas de cuatro.
Pero así como tenemos una proposición p , también tenemos la negación de esta ~ p o ¬p, es así que de los ejemplos anteriores
~ p : hoy no es lunes
~ q : las aves no son invertebrados
~ r : la ballena no es un mamífero
~ s : las estaciones del año son más de cuatro.
Notemos que “los valores de verdad entre la proposición y su negación son contrarios” algo que podemos plantear en la siguiente tabla:
p | ~p |
C | F |
F | C |
Cuantificadores
La cantidad es una cuestión importante de las proposiciones, saber si se trata de Todos, algunos o ninguno.
“Todos…” es el cuantificador universal afirmativo ∀
“Algunos…” es el cuantificador existencial o particular ∃
“Algunos …no” es el cuantificador existencial negativo; equivale a “No todos…”
“Ningún…” es el cuantificador universal negativo
La forma de negar estos es la siguiente:
- La negación de “Todos...” es “Algunos…no” y viceversa.
- La negación de “Algún…” es “Ningún…” y viceversa
Ej. p: Todos los árboles son verdes.
~ p: Algunos árboles no son verdes.
Ej. q: Algunas aves no vuelan.
~ q: Todas las aves vuelan.
Ej. r: Algunos policías son corruptos
~ r: Ningún policía es corrupto.
Ej. s: Ningún número primo lo divide el 4
~ s: Algunos números primos los divide el cuatro.
Proposiciones Simples, Compuestas y Abiertas.
Def.- Una proposición simple es una oración que contiene una sola idea.
Def.- una proposición abierta es aquella en la que interviene una variable de reemplazamiento x , los valores que puede tomar la variable se llama conjunto de reemplazamiento, de los cuales algunos hacen cierta a la proposición, a este conjunto se le llama conjunto de verdad.
Ej. x es un número par
Los números “6,20, 48…” hacen cierta a la proposición, en cuanto “rojo, 3, 75, vaso” la hacen falsa.
Los ejemplos que desde un principio hemos dado son proposiciones simples, más en ocasiones necesitamos proposiciones compuestas, que son aquellas en las que intervienen dos o más proposiciones simples, relacionadas con los conectivos lógicos: disyunción, conjunción, implicación.
Conectivos Lógicos
La disyunción p ∨ q
El conectivo disyunción ∨ se interpreta como una “o”, mas esta no tiene el uso común de dilema que se da en el lenguaje ordinario, sino es una “o” de tipo inclusiva, es decir, es una, la otra o ambas a la vez.
La conjunción p ∧ q
La conjunción ∧ representa al conectivo lingüístico “y”, de carácter estricto, es decir es una y la otra simultáneamente.
De aquí podemos afirmar que:
“para que la disyunción sea cierta, basta que una de las proposiciones sea cierta” ;
“para la conjunción, ambas proposiciones deben ser ciertas para que esta sea cierta”.
Las negaciones.
Dar la negación de la disyunción y la conjunción nos lleva a hablar de las leyes de Demorgan para la lógica que nos dicen:
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