LÓGICA Y CONJUNTOS

LÓGICA Y CONJUNTOS

NOTAS DE CLASE

GERARDO ALBERTO CAJAS GÓMEZ

POPAYÁN 2018

CONTENIDO

1. LÓGICA

1. PROPOSICIONES LÓGICAS
2. TIPOS DE PROPOSICIONES

1. PROPOSICIONES SIMPLES

1. VALORES DE VERDAD
2. NEGACIÓN

1. PROPOSICIONES COMPUESTAS

1. CANTIDAD DE VALORES DE VERDAD
2. OPERACIONES LÓGICAS

1. CONJUNCIÓN
2. DISYUNCIÓN
3. DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
4. CONDICIONAL
5. BICONDICIONAL

1. TABLAS DE VERDAD

1. CUANTIFICADORES

1. CUANTIFICADOR UNIVERSAL [pic 1]
2. CUANTIFICADOR EXISTENCIAL Ǝ

1. RAZONAMIENTO LÓGICO

1. CONJUNTOS

1. REPRESENTACIÓN DE UN CONJUNTO
2. DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO
3. TIPOS DE CONJUNTOS
4. RELACIONES ENTRE ELEMENTOS Y CONJUNTOS
5. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
6. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

1. UNIÓN
2. INTERSECCIÓN
3. COMPLEMENTO
4. DIFERENCIA
5. DIFERENCIA SIMÉTRICA
6. PRODUCTO CARTESIANO

1. PROBLEMAS DE APLICACIÓN

LÓGICA

LÓGICA MATEMÁTICA

La lógica matemática es la disciplina que estudia los procedimientos para determinar si un razonamiento es correcto o incorrecto.

La lógica analiza los tipos de razonamiento utilizando modelos matemáticos apoyándose en proposiciones lógicas.

PROPOSICIONES LÓGICAS

Una proposición lógica es un enunciado del cual podemos afirmar que es verdadero (V) o falso (F). Este tipo de enunciados se denominan apofánticos.

Ejemplos:

Bogotá es la capital de Colombia (proposición verdadera)

El cuerpo humano tiene 50 huesos (proposición falsa)

¿Quién faltó a clase? (No es proposición).

TIPOS DE PROPOSICIONES

Las proposiciones lógicas se clasifican en dos tipos:

• Proposiciones simples o atómicas
• Proposiciones compuestas o moleculares

PROPOSICIONES SIMPLES

Son aquellas que constan de enunciados simples, sin incluir referencias a otros enunciados con palabras tales como y, o , si…entonces…, si y solo si, etc.

Una proposición simple se representa con las letras minúsculas p, q, r, etc.

Ejemplos:

Hoy es lunes.

Ella estudia matemáticas.

VALORES DE VERDAD

Una proposición simple p solamente puede tener uno de dos valores posibles: o es verdadera o es falsa:

NEGACIÓN

Una proposición simple p se puede negar, de tal forma que si p es verdadera su negación será falsa y si p es falsa entonces su negación será verdadera. La negación se representa generalmente con el símbolo   o con el símbolo ~ (virgulilla).[pic 2]

PROPOSICIONES COMPUESTAS

Son aquellas que se forman a partir de proposiciones simples unidas por palabras tales como: o, y, si…entonces…si y solo si, etc.

Ejemplos:

Hoy estudio matemáticas y sociales.

Si hoy llueve entonces no puedo visitarte.

OPERACIONES LÓGICAS

Con las proposiciones es posible definir varias operaciones, entre las más utilizadas están las siguientes:

CANTIDAD DE VALORES DE VERDAD

Recordemos que para proposición simple se tiene dos valores de verdad: V o F.

Para una proposición compuesta que involucre dos proposiciones simples p, q se tendrán 4 valores, teniendo en cuenta que mientras p sea V, entonces q puede ser V o F y de la misma forma cuando p sea F.

Para tres proposiciones p, q, r se tendrán 8 valores posibles, ya que mientras p sea V entonces q puede ser V o F y en cada uno de estos casos r puede ser a su vez V o F y de la misma forma cuando p sea F.      

   En general la cantidad de valores de verdad está dado por , donde n es el número de proposiciones simples.[pic 5]

Para 4 proposiciones se tiene n=4 y  casos posibles.[pic 6]

Para 5 proposiciones se tiene n=5 y  casos posibles, etc. [pic 7]

TABLAS DE VERDAD.

Entre dos proposiciones simples se aplican las operaciones teniendo en cuenta las siguientes tablas de valores de verdad:

Conjunción:

En la conjunción se deben cumplir ambas proposiciones.

Disyunción:

En la disyunción se debe cumplir por lo menos una de las dos proposiciones.

Disyunción exclusiva:

En la disyunción exclusiva se debe cumplir exactamente una de las dos proposiciones

Ejemplo: Un número entero o es par o es impar pero no ambos.

 Condicional:

En el condicional se obtiene F solo cuando p es V y q es F.

Ejemplo: Si me gano la lotería entonces te compro un carro.

Bicondicional:

En el bicondicional se obtiene V solo cuando p y q tienen los mismos valores V o F.

Ejemplo: N es un número par si y solo si es divisible por 2.

Resumen de tablas de verdad:

EJERCICIOS

...