Teorema De CHEBYSHEV

INTRODUCCION.

La varianza de una variable aleatoria nos dice algo acerca de la variabilidad de las observaciones alrededor de la media.

Si una variable aleatoria tiene una varianza o desviación estándar pequeña, esperaríamos que la mayoría de los valores se agruparan alrededor de la media. Por lo tanto, la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor dentro de cierto intervalo alrededor de la media es mayor que para una variable aleatoria similar con una desviación estándar mayor.

Si pensamos en la probabilidad en términos de un área, esperaríamos una distribución continua con un valor grande de σ que indique una variabilidad mayor y, por lo tanto, esperaríamos que el área esté más extendida, como en la figura 4.2a). Sin embargo, una desviación estándar pequeña debería tener la mayor parte de su área cercana a µ, como en la figura 4.2b).

Podemos argumentar lo mismo para una distribución discreta. En el histograma de probabilidad de la figura 4.3b), el área se extiende mucho más que en la figura 4.3a), lo cual indica una distribución más variable de mediciones o resultados.

TEOREMA DE CHEBYSHEV.

El matemático ruso P.L Chebyshev (1821-1894) descubrió que la fracción del área entre cualesquiera dos valores simétricos alrededor de la media está relacionada con la desviación estándar. Como el área bajo la curva de distribución de probabilidad, o en un histograma de probabilidad, suma 1, el área entre cualesquiera dos números es la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor entre estos números.

El siguiente teorema, debido a Chebyshev, da una estimación conservadora de la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor dentro de Қ desviaciones estándar de su media, para cualquier número real Қ.

El teorema de Chebyshev o la desigualdad de Chebyshev proporciona una cota para la probabilidad de que una variable aleatoria se aleje un cierto número de desviaciones estándar de la media. La cota no siempre genera un intervalo reducido; sin embargo, se requiere muy poca información de la variable aleatoria para generar el intervalo, de hecho, basta con conocer la media y la desviación estándar.

De hecho, la desigualdad de Chebyshev se puede escribir también como:

O bien, utilizando el complemento:

Desde el punto de vista teórico, la característica más importante del teorema de Chebyshev es que se aplica a cualquier distribución de probabilidad para la que existan µ y σ.

Las cotas proporcionadas por la desigualdad de Chebyshev, en general, no se pueden mejorar; es posible construir una variable aleatoria cuyas cotas de Chebyshev sean exactamente iguales a las probabilidades reales. Sin embargo, en general el teorema proporcionará cotas poco precisas.

El teorema puede ser útil a pesar de las cotas imprecisas porque se aplica a una amplia gama de variables que incluye las que están muy alejadas de la distribución normal, y porque las cotas son fáciles de calcular. El teorema se emplea para demostrar la ley débil de los números grandes.

El teorema de Chebyshev tiene validez para cualquier distribución de observaciones y, por esta razón, los resultados son generalmente débiles. El valor que el teorema proporciona es sólo un límite inferior. Únicamente cuando se conoce la distribución de probabilidad podemos determinar probabilidades exactas. Por esta razón llamamos al teorema resultado de distribución libre.

El uso del teorema de Chebyshev se restringe a situaciones donde se desconoce la forma de la distribución.

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