TALLER DE ESTADISTICA GRADO UNDECIMO TEOREMA DE CHEBYSHEV

INSTITUCION EDUCATIVA SANTA TERESA DE JESUS

TALLER DE ESTADISTICA GRADO UNDECIMO

TEOREMA DE CHEBYSHEV

“Por los defectos de los demás el sabio corrige los propios”

TEOREMA DE CHEBYSHEV

Sabemos que si la desviación estándar es pequeña los datos se concentran muy cerca de la media ( "X" ̅) y si la desviación estándar es grande o amplia los datos se esparcen alrededor de la media. Esta idea se expresa formalmente por medio del teorema de CHEBYSHEV. Observa la siguiente figura:

La figura muestra la concentración de los datos cerca de la media aritmética. La gráfica se conoce como CURVA NORMAL O CAMPANA DE GAUSS

En matemáticas, la campana de Gauss es la representación gráfica de la ecuación matemática a una Distribución normal. Tiene forma de campana y debe su nombre al matemático alemán Carl Friedrich Gauss. Cuando se realizan series de medidas experimentales, algunas de ellas son mayores que la media y otras menores, aunque unas y otras se producen en igual cantidad o con la misma probabilidad

El teorema de CHEBYSHEV establece que “PARA CUALQUIER CONJUNTO DE DATOS Y CUALQUIER CONSTANTE K > 1, EL PORCENTAJE DE LOS DATOS QUE DEBE CAER DENTRO DE K DESVIACIONES TÍPICA DE CUALQUIER LADO DE LA MEDIA ES DE POR LO MENOS:

1 – 1/K2

Ejemplo:

1. En una distribución cualquiera, qué porcentaje de los datos estará entre la media y dos veces las desviaciones típicas?

PROCEDIMIENTO: 1 – 1/22 = 1 – ¼ = ¾ = 0.75% (Al menos el 75% de los datos de cualquier distribución debe caer entre la media y dos veces la desviación

Si la muestra consta de 650 datos por los menos 488 datos quedarían entre dos veces la desviación típica y la media

2. Según la expresión de CHEBYSHEV por lo menos qué porcentaje de cualquier distribución quedarían entre tres veces las desviaciones típica y la media?. Por lo menos cuántos datos sería si la muestra tiene 5000 datos?

3. Determinar el porcentaje para 55. 65, 85

1. Problema: Si todas las latas de una libra de café llenadas por un procesador de alimentos tienen un peso medio de 16 onzas con una desviación estándar de 0.02 onzas. Qué porcentaje de las latas, como mínimo debe contener entre 15.80 onzas y 16.20 onzas de café?

Procedimiento:

X = 16 S = 0.02 K =?

X – KS = 15.8 KS = X – 15.8 KS = 16 – 15.8 Ks = 0.2 0.02K = 0.2 K = 0.2/0.02 K = 0.99 = 99%

Luego el 99% de las latas por lo menos tienen un peso entre 15.8 y 16.2 onzas

De 5000 latas cuántas tienen un peso entre los límites dados?

2. Los registros de una aerolínea demuestran que sus vuelos entre dos ciudades llegan en promedio 5.4 minutos tarde con una desviación típica de 1.4 minutos. Por lo menos que % de los vuelos llegan entre 2.6 y 8.2 minutos de retrazo. Si hay 25 vuelos cuántos llegan retardados entre los límites dados?

3. Un estudio de valor nutritivo de cierta marca de pan revela que en promedio una rebanada contiene 0.260 milígramo de tiamina (vitamina B), con una desviación estándar de 0.05 milígramos. De acuerdo a CHEBYSHEV entre qué valores se debe encontrar el contenido de la vitamina por lo menos de 35/36 de todas las rebanadas de este pan. Por lo menos entre qué valores se debe encontrar el contenido de Tiamina por menos de 80/81 de todas las rebanadas. Si son 2000 rebanadas cuántos caen en este límite?. Qué porcentaje de las rebanadas de pan deben contener entre 0.245 y 0.275 milígramos de Tiamina?

4. Los datos siguientes son los números de clientes a los que se les sirvió almuerzos en 30 días

65 50 64 55 51 60 41 71 53 64 58 46 59 66 45

61 57 65 62 65 53 55 61 50 55 53 57 58 66 56

Determinar X y S. Calcular el % de los datos que caen entre la media y dos y tres desviaciones. A cuántos datos corresponden estos %? Ilustrar con la campana de Gauss

COEFICIENTE DE VARIACION O VARIACION RELATIVA

Hay que recordar que la Desviación típica solo se utiliza para observar la variabilidad entre dos o más distribuciones con la misma unidad de medida “El COEFICIENTE DE VARIACION “ ya no importa la unidad de medida para decir cual distribución presenta mayor o menor grado de variabilidad que permite optar por la una o la otra.

El coeficiente de variación se simboliza por “d” y viene dada por: d = (S / X). 10 o d = ( S / Y ) . 100

1. Se tiene que una empleada en el estado del Tachira (Venezuela) se gana al día 8570 Bls en promedio con una desviación estandar de 80 bls y una empleada en Cúcuta gana al día 26800 pesos en promedio con una desviación típica de $14.400 pesos. Cuál tiene mejores condiciones salariales?

2. Varias medidas del diámetro de un rodamiento de balas tomadas con un micrómetro tuvieron una medida de 2.49 mm y una desviación estándar de 0.012 mm y varias medidas de longitud de un resorte sin estirar tomadas con otro micrómetro tuvieron una medida media de 0.75 pulgadas con una desviación estándar de 0.02 pulgadas. Cuál de los dos micrómetros es relativamente más preciso?

3. La presión sanguínea de un paciente se midió diariamente durante varias semanas obteniendo una medida promedio de 188 con una desviación típica de 14.2, La presión de otro paciente también se midió durante el mismo tiempo obteniendo una medida promedio de 136 con una desviación estándar de 8.6. qué paciente es relativamente más variable?

4. En 16 días, un restaurante tuvo los siguientes ordenes de pollo y bistec:

Pollo: 46 55 43 48 54 65 36 40 51 53 64 32 41 46 53 47

Bistec: 39 41 25

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