Trabajo Algebra

INTRODUCCIÓN El presente trabajo se realiza con el fin de analizar, comprender y practicar los diferentes ejercicios planteados por la guía, donde tendremos en cuenta las lecciones de recta, circunferencia, elipse, parábola, hipérbola; determinando centro, focos, vértices y radio. Se tendrá en cuenta y se realizara ejercicios de sumatorias y productorias, donde se debe colocar el desarrollo y resultado del operador.

Ejercicios planteados (relacione procedimiento y respuesta obtenida) 1. De la siguiente elipse: a. centro 4x2−8x+16y2−96y+84=0 4(x2−2x)+16(y2−6y)=−84 4(x2−2x+[1−1])+16(y2−6y+[9−9])=−84 4((x2−2x+1)−1)+16((y2−6y+9)−9)=−84 4((x−1)2−1)+16((y−3)2−9)=−84 4(x−1)2−4+16(y−3)2−144=−84 4(x−1)2+16(y−3)2= ⋅ ( ) ( )2 + ( )2 a2 b2 al observar sus denominadores, que son 16 y 4, entonces cuando el denominador que acompaña a la fracción que tiene "X" es mayor que la del otro, la elipse es horizontal y si es menor la elipse es vertical. 16 > 4elipse horizontal Al realizar la ecuación podemos obtener su centro C= (1, 3) Ahora debemos sacar sus semiejes, para después obtener los focos de la elipse. El a=4 corresponde al semieje mayor y el b=2 es el semieje menor y c es la semidistancia focal. a2=16 a= √ a=±4 b2= b=√ b=±2 a2−b2=c2 (4)2−(2)2=c2 16−4=c2

√ =c

2√ =c

b. focos

Teniendo "C" podemos obtener los focos. Para esto debes tener en cuenta que tu elipse es horizontal por lo tanto los focos se sacan de esta manera, en caso contrario fuera vertical la fórmula es otra.

F(x0+c,y0)

F′(x0−c,y0)

Entonces.

F(1+2√ )

F′(1−2√ )

c. vértices

Los vértices se pueden sacar con teniendo el centro de la elipse y los semi-ejes, pues estos son los puntos de intersección del centro de la elipse con sus ejes.

A(1±4,3)−−>A(5,3);A′(−3,3)

B(1,3±2)−−>B(1,5);B′(1,1)

2. De la siguiente hipérbola: 4x2 – y2 – 8x – 4y - 4 = 0. Determine: centro, focos, vértices. 4x² – y² – 8x – 4y - 4 = 0 (4x² – 8x) – (y² + 4y) = 4 4(x² – 2x) – (y² + 4y) = 4 4(x² – 2x + 1²) – (y² + 4y + 2²) = 4 + 4 - 4 4(x – 1)² – (y + 2)² = 4 4(x – 1)² (y + 2)² 4 ----------- - ----------- = ---- 4 4 4 (x – 1)² (y + 2)² ----------- - --------- = 1 1 4 Esta ecuación es de la forma: (x – h)² (y - k)² ----------- - --------- = 1 a2 b²

que corresponde a una hipérbola con centro en (h , k) y eje focal paralelo al eje x. Centro: C (1 , -2) a = 1 b = 2 c² = a² + b² c² = 1 + 4 c² = 5 c = √5 ~2.23 Vértices: V1 (1 - 1 , -2) → V1 (0 , -2) V2 (1 + 1 , -2) → V2 (2, -2) Focos: F1 (1 - 2.23 , -2) → F1 (-1.23 , -2) F2 (1 + 2.23 , -2) → F2 (3.23, -2) 4. De la siguiente parábola: y2 – 4y – 8x – 28 = 0. Determine: Vértice, Foco, Directriz. y2 – 4y – 8x – 28 = 0 (y - 2)2 - 8x - 32 = 0 (y - 2)2 = 8x - 32 (y - 2)2 = 8(x - 4) -> ecuación de parábola, con eje paralelo al eje "x" de acá podemos hallar el parámetro "p" sabemos que la ecuación tiene la forma: (y - k)2 = 4p(x - h) entonces: 4p = 8 p = (8/4) p = 2 Ahora de la ecuación encontrada: Vértice: V(h , k) = V(4 , 2) Rta

Foco: F(h+p, k) = F(4+2 , 2) = F(6,2) Rta Directriz: x = h - p ; entonces: x = 4 - 2 por lo tanto x = 2  Rta 5. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto (4, 5) y es perpendicular a la recta cuya ecuación es 3x + 2y = 7 P= (4, 5) 3x+2y=7 2y=7-3x Y= = - m2= -

m1=

y - y1= m( x-x1)

y- 5= (x – 4)

y – 5= x -

y= x - + 5 = =

y= x +

+ – y= 0

6. Realizar los siguientes ejercicios de sumatorias y productorias. Se debe colocar el desarrollo y resultado del operador. a. Σ 3

(2(1)-1)3+ (2(2)-1)3+(2(3)-1)3

(2-1)3+ (4-1)3+ (6-1)3

(1)3+

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