Una Investigación En Matemáticas Aplicadas Abre Nuevos Caminos En Ciencia E Inge.

Una investigación en matemáticas aplicadas abre nuevos caminos en ciencia e inge.

La ingeniería moderna se enfrenta a retos tales como la propagación de ondas en medios complejos, esto es, la manera particular en que las ondas recorren cualquier medio que no sea homogéneo (con elementos de igual naturaleza o condición) o isotrópico (en donde la propagación de ondas electromagnéticas no depende de la dirección en la que se difunden). La solución a problemas de propagación de ondas electromagnéticas, acústicas o cuánticas relativistas en medios no homogéneos o quirales1 es de una enorme importancia en la ingeniería, y es el tema del proyecto de investigación titulado “Nuevos métodos en problemas de propagación de ondas en medios complejos”, dirigido por el doctor Vladislav Kravchenko, que recibió el Premio a la Investigación en el Instituto Politécnico Nacional (IPN) en el área de Investigación Básica.

El trabajo del doctor Kravchenko consistió en proponer y justificar rigurosamente un nuevo acercamiento a toda una gama de modelos de la física matemática, incluyendo un nuevo método numérico para la solución de problemas de difracción electromagnética2, que permite dar soluciones a problemas con valores en la frontera para las ecuaciones de Maxwell3 en dominios no acotados con una precisión de hasta cuatro decimales, lo que no se había obtenido por ningún otro método empleado hasta ahora, así como un nuevo y asombroso algoritmo que en muchos casos permite obtener sistemas de soluciones completos en forma explícita para las importantísimas ecuaciones de la física matemática como son la ecuación de Schrödinger4, la ecuación de Dirac5, los sistemas de ecuaciones en derivadas parciales que describen los campos magnéticos libres de fuerza, la principal ecuación de la electrostática en medios no homogéneos y otros sistemas. Las aplicaciones del trabajo del equipo dirigido por el doctor Kravchenko van desde la magnetohidrodinámica, la solución de modelos de propagación en medios quirales y otras de interés tanto teórico como práctico.

Los modelos estudiados en este proyecto se presentan en prácticamente todas las ramas de la ingeniería. Los problemas de difracción de ondas electromagnéticas se aplican en áreas tan distintas como la exploración de hidrocarburos, radares o la tomografía en estudios médicos. La aplicación de nuevos y eficientes algoritmos para la solución de problemas correspondientes, obtenidos como resultado del trabajo de este equipo del postgrado en Telecomunicaciones de la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica (ESIME) unidad Zacatenco del IPN, permitirán lograr mayor eficacia en tareas cotidianas de diferentes áreas de la ingeniería.

NUEVO ENFOQUE ALGEBRAICO

Entrevistado sobre su proyecto de investigación por la revista Conversus, el doctor Kravchenko explicó que desde hace mucho tiempo la influencia del álgebra en el análisis de las ecuaciones en derivadas parciales, las cuales forman parte de todas las áreas de la física y la ingeniería, ha sido muy benéfica desde diferentes puntos de vista. Sin embargo, lo que el doctor Kravchenko y su equipo lograron fue proporcionar otro enfoque de las técnicas algebraicas para el estudio de las ecuaciones en derivadas parciales y de sistemas, como son las ecuaciones de Maxwell. La esencia del proyecto consistió en considerar medios complejos, que son los medios surgidos comúnmente en la práctica cotidiana. Ejemplos de medios complejos son el ser humano y la atmósfera. El proyecto también se enfocó en los medios quirales, clase a la que pertenecen prácticamente todos los medios orgánicos. La quiralidad de un material se revela dentro de una banda de frecuencia. Por ejemplo, cualquier proteína es quiral dentro de una cierta banda de frecuencia. El ojo humano, la atmósfera de Saturno también tienen esta propiedad. Por todas las pruebas evidentes, Lord Kelvin sentenció que “el mundo es quiral”.

La parte esencial del proyecto citado, lo más interesante del proyecto, es que un buen porcentaje de todos los físicos y especialistas de otras áreas trabajan o han trabajado con la ecuación de Schrödinger. Una gran parte de estos investigadores se han dado a la búsqueda de nuevas soluciones explícitas o exactas de esta ecuación. En algunos casos particulares, cuando el coeficiente tiene una forma especial, se han encontrado las soluciones en forma explícita, pero para muy pocos casos particulares.

Lo que el equipo de la ESIME observó es que en el caso bidimensional, la ecuación de Schrödinger se puede reducir a una ecuación que se conocía desde los años cincuentas como la ecuación de Vekua, nombrada así en honor al matemático soviético Ilya Vekua que la estudió. Para esta ecuación existió una teoría desarrollada por grupos de investigación en la Unión Soviética, Estados Unidos, Alemania y otros países. Los principales investigadores fueron Ilya Vekua, quien por su trabajo y libro referente a las funciones analíticas generalizadas recibió el Premio Lenin. En Estados Unidos el principal investigador en esta área fue Lipman Bers, posteriormente Presidente de la American Mathematical Society. El doctor Kravchenko descubrió un mecanismo para hacer esta teoría funcional explícitamente y aplicable a una amplia clase de ecuaciones de la física matemática (ya que teóricamente es una obra maestra de gran belleza en las matemáticas, pero con relativamente pocas aplicaciones que en los últimos 20 años; fue prácticamente abandonada. Sólo un puñado de investigadores la estudiaron durante este periodo).

El doctor Kravchenko encontró un mecanismo para construir las soluciones propuestas por Bers en forma totalmente explícita, lo cual permitió obtener para la ecuación de Schrödinger sistemas completos de soluciones en forma explícita. Para muchos propósitos es una solución completa: tal es el caso de la ecuación de Schrödinger en su forma bidimensional, la ecuación de Dirac en el caso de que el potencial o coeficiente dependa de una coordenada espacial, la ecuación de conductividad, que es la principal de la electrostática en medios no homogéneos y que se estudia mucho actualmente en relación con la tomografía de la impedancia eléctrica, una técnica no invasiva utilizada en medicina.

El sistema completo de soluciones obtenido en este proyecto de investigación puede ser construido con paquetes de software

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