Los números reales. Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales

Tema 1. Los números reales. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I.        1º Bachillerato CCSS

TEMA 1: NÚMEROS REALES.

1.- Números reales.

2.- La recta real.

3.- Intervalos, semirrectas y entornos.

4.- Valor absoluto de un número real.

5.- Potencias.

6.- Radicales.

7.- Operaciones con radicales.

8.- Racionalización de denominadores.

9.- Logaritmos. Propiedades.

10.- Expresión decimal de los números reales. Números aproximados.

1.- NÚMEROS REALES.

1.1 Números racionales.

• El conjunto  de los números racionales está formado por todos aquellos números que se pueden escribir en forma de fracción ba , donde a y b son números enteros y b es distinto de 0. Incluye el conjunto de los números enteros ℤ ( enteros negativos, el 0 y los naturales o enteros positivos) y el

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conjunto de los números fraccionarios (racionales no enteros).        N Ì Z Ì Q

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Los números racionales se pueden expresar mediante números enteros, decimales exactos o periódicos. Al situarlos sobre la recta numérica la ocupan densamente. Esto quiere decir que:

• Entre dos números racionales hay otros infinitos números racionales.

• Si tomamos un punto cualquiera de la recta numérica hay infinitos números racionales tan cerca de él como queramos.

Sin embargo, en la recta numérica hay infinitos puntos no ocupados por números racionales. A cada uno de estos puntos le corresponde un número irracional

1.2 Números irracionales.

• El conjunto de los números irracionales está formado por los números que no pueden ser expresados como fracción. Su expresión decimal tiene un número infinito de cifras que no se repiten de

forma periódica. Los números irracionales se representan con la letra . Ejemplos: 2 , 5 3, p, F (número de oro)

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1.3 El conjunto de los números reales.

-El conjunto de los números reales está formado por los números racionales e irracionales. Se representa por la letra . Matemáticamente se expresa:

ℝ=ℚ∪

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1.4 Propiedades de los números reales.

Las propiedades que cumplen los números reales son las mismas que cumplen los números racionales:

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1.5 Relación de orden.

Dados dos números reales a y b decimos que:

• a es menor que b, y se escribe  <  , cuando  −  es positivo.

• a es mayor que b, y se escriba  >  , cuando  −  es negativo.

1. LA RECTA REAL.

La recta numérica en la que se representan todos los números reales se denomina recta real. Los puntos de la recta real y los números están en correspondencia biunívoca: a cada punto le corresponde un punto de la recta y a cada punto de la recta le corresponde un número real.

La representación de un número real sobre la recta se hará de un modo u otro según el tipo de número que sea:

• Entero o decimal exacto: 2; 3,47

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• Decimal periódico: Puede expresarse en forma de fracción y, de este modo, se representa dividiendo cada unidad entre las partes que tenga el denominador y tomando tantas de esas partes como indique el numerador: 5/6, -8/5

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• Irracional cuadrático: 5, 12

PASO 1: Descomponemos el radicando como una suma de cuadrados perfectos.

5®5=22 +12

12 ®12 = 32 +3 = 32 +12 +12 +12

PASO 2: Utilizamos los dos primeros cuadrados perfectos para construir los catetos de un triángulo rectángulo sobre la recta real. En el segundo ejemplo la longitud de los catetos será 3 y 1.

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PASO 3: Utilizamos el siguiente cuadrado perfecto para construir un nuevo triángulo sobre la hipotenusa del triángulo anterior. En este caso la longitud es 1.

PASO 4: Seguimos construyendo triángulos de forma análoga hasta hacerlo con todos los cuadrados.

PASO 5: Con centro en 0, y radio, la hipotenusa del último triángulo, trazamos un arco que corte a la recta real. En ese punto está 12

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Ejercicios.

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diagrama

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2.- Representa las raíces:

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11;   101;   5;   36

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3.- INTERVALOS, SEMIRRECTAS Y ENTORNOS.

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