Variables Aleatorias Bidimensionales

Variables Aleatorias Bidimensionales

ESTADÍSTICA

2º Curso Grado Ingeniería Informática (EXECUTIVE)

Índice

 1. Introducción a las Variables Aleatorias Bidimensionales.

 2. Ejercicio completo de vectores aleatorios discretos.

 3. Ejercicio completo de vectores aleatorios continuos.

 4. Bibliografía.

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Introducción a las

Variables Aleatorias Bidimensionales

Introducción a V.A.B.

 Se trata de variables que surgen cuando se estudian dos características asociadas a un experimento aleatorio.

 En determinadas ocasiones hay que trabajar en espacios de más de una dimensión, estableciendo aplicaciones que transforman los sucesos elementales del experimento aleatorio en puntos del espacio bidimensional.

 También nos puede llegar a interesar estudiar conjuntamente dos características del fenómeno aleatorio, es decir, estudiar el comportamiento conjunto de dos V.A. para intentar explicar la posible relación entre ellas. Para ello es necesario conocer la distribución de probabilidad conjunta.

Árbol de V.A.B.

Concepto de V.A.B.

 Una variable aleatoria bidimensional es un vector de dos dimensiones cuyos componentes son variables aleatorias: (X,Y)

V.A.B.D. (Caso discreto)

 En las VABD, la masa de probabilidad se encuentra distribuida en un conjunto de puntos finito o numerable. El par (X, Y):

 La función de distribución se puede calcular sumando las probabilidades de los puntos incluidos en un intervalo.

 Para cada valor posible (Xi, Yj) podemos asociar un número

con Función de Probabilidad Conjunta, que satisface:

V.A.B.C. (Caso continuo)

 Las variables continuas, se caracterizan por tener su masa de probabilidad distribuida y se define la Función de Densidad Conjunta, f(x,y), satisfaciendo las siguientes propiedades:

 Para la V.A.B.D. (X, Y) se define su Función de Distribución en:

donde f es la Función de Densidad, si la Función de Distribución tiene segundas derivadas se cumplirá que:

V.A.B. (Resumen Casos)

Distribuciones Marginales

 Una distribución marginal se obtiene al considerar la distribución de una de las dos variables de una V.B, ignorando la otra.

 Las Distribuciones Marginales de X e Y , están dadas por:

◦ Caso Discreto:

◦ Caso Continuo:

Distribuciones Condicionadas

 La distribución condicional

de la variable aleatoria Y ,

cuando X = x, viene dada por:

 La distribución condicional

de la variable aleatoria X ,

cuando Y = y, viene dada por:

Independencia entre V.A.B.

 Siendo X e Y dos variables aleatorias, discretas o continuas, con Distribución de Probabilidades f(x, y) y Distribuciones marginales g(x), h(y), diremos que X e Y son estadísticamente independientes

si y sólo si,

 Para todo (x, y) en su dominio

de definición. En caso contrario

serán dependientes.

 Este concepto se puede

generalizar para el caso de

n variables aleatorias.

Covarianza

Cambio de Variables (Z)

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