Variable Aleatoria Binominal

Distribuciones de V.A.D: Binomial

Introducción

Cuando se habla de los tipos de probabilidad, decimos que esta se clasifica en tres:

• Probabilidad clásica.

• Probabilidad distribución de frecuencias.

• Probabilidad subjetiva.

La distribución de probabilidades esta muy relacionado con el tipo de variables. Nosotros conocemos dos tipos de variables:

• Variable discreta, y

• Variable continúa.

En este trabajo, estudiaremos las principales distribuciones de variables discretas. Una distribución de probabilidades para una variable aleatoria discreta es un listado mutuamente excluyente de todos los resultados numéricos posibles para esa variable aleatoria tal que una probabilidad específica de ocurrencia se asocia con cada resultado.

El valor esperado de una variable aleatoria discreta es un promedio ponderado de todos los posibles resultados, donde las ponderaciones son las probabilidades asociadas con cada uno de los resultados.

Donde: Xi = i-ésimo resultado de X, la variable discreta de interés.

P(Xi) = probabilidad de ocurrencia del i-ésimo resultado de X

La varianza de una variable aleatoria discreta (s 2) se define como el promedio ponderado de los cuadros de las diferencias entre cada resultado posible y su media (los son las probabilidades de los resultados posibles).

Donde: Xi = i-ésimo resultado de X, la variable discreta de interés.

P(Xi) = probabilidad de ocurrencia del i-ésimo resultado de X

LAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES DISCRETAS MÁS IMPORTANTES SON:

• Distribución Binomial

• Distribución de Poisson

Hablaremos de cada tipo de distribución y como lo resolveremos aplicando el Excel.

Este tema es uno de los dos más importantes e imprescindibles a la hora de adentrarnos en el estudio de la inferencia estadística. Es uno de los primeros ejemplos de las llamadas distribuciones discretas que solo pueden tomar un numero finito, o infinito numerable de valores.

Estudiada por Jakob Bernoulli Suiza, 1654-1705 quien escribio el primer tratado importante sobre probabilidad, “Ars conjectandi” (Elarte de pronosticar). Los Bernoulli formaron una de las sagas de matemáticos más importantes de la historia.

ESTA DISTRIBUCIÓN ESTA ADECUADA A EXPERIMENTOS TALES COMO:

 Realizamos n veces cierto experimento en el que consideramos solo la posibilidad de éxito o fracaso.

 La obtención de éxito o fracaso en cada ocasión es independiente de la obtención de éxito o fracaso en las demás ocasiones.

 La probabilidad de obtener éxito o fracaso siempre es la misma en cada ocasión.

Definición y clasificación de variables aleatorias

Las variables aleatorias están ligadas a experimentos aleatorios. Y se dice que se ha definido una variable aleatoria cuando a cada elemento del espacio muestral se le ha asociado un número.

Si una variable real, X, es una variable aleatoria sus valores dependen del azar.

Por ejemplo, si se lanzan dos dados y X es el número de veces que sale un 6, entonces X es una variable aleatoria, y toma, al azar, uno de los valores 0, 1 ó 2.

El estudio de las distribuciones de probabilidad es similar al de la variable estadística, el equivalente de la frecuencia relativa en la variable aleatoria es la probabilidad.

Se clasifican en:

Variables aleatorias discretas

Diremos que una variable aleatoria es discreta si su recorrido es finito o infinito numerable.

Generalmente, este tipo de variables van asociadas a experimentos en los cuales se cuenta el número de veces que se ha presentado un suceso o donde el resultado es una puntuación concreta.

Los puntos del recorrido se corresponden con saltos en la gráfica de la función de distribución, que correspondería al segundo tipo de gráfica visto anteriormente.

Variables aleatorias continuas

Son aquellas en las que la función de distribución es una función continua. Se corresponde con el primer tipo de gráfica visto.

Generalmente, se corresponden con variables asociadas a experimentos en los cuales la variable medida puede tomar cualquier valor en un intervalo; mediciones biométricas, por ejemplo.

Un caso particular dentro de las variables aleatorias continuas y al cual pertenecen todos los ejemplos usualmente utilizados, son las denominadas variables aleatorias absolutamente continuas.

Distribución y esperanza:

En estadística la esperanza matemática (o simplemente esperanza) o valor esperado de una variable aleatoria es la suma de la probabilidad de cada suceso multiplicada por su valor. Por ejemplo en un juego de azar el valor esperado es el beneficio medio.

Si todos los sucesos son de igual probabilidad la esperanza es la media aritmética.

Para una variable aleatoria discreta con valores posibles y sus posibilidades representadas por la función de masa p (xi) la esperanza se calcula con una variable aleatoria continua la esperanza se calcula mediante la integral de todos los valores y la función de densidad , o La esperanza también se suele simbolizar con Las esperanzas para se llaman momentos de orden . Más importantes son los momentos centrados.

Propiedades La esperanza es un operador lineal, ya que: Combinando estas propiedades, podemos ver que donde son variables aleatorias y dos constantes cualesquiera.

VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR

VARIANZA

Esta medida nos permite identificar la diferencia promedio que hay entre cada uno de los valores respecto a su punto central (Media Este promedio es calculado, elevando cada una de las diferencias al cuadrado (Con el fin de eliminar los signos negativos), y calculando su promedio o media; es decir, sumado todos los cuadrados de las diferencias de cada valor respecto a la media y dividiendo este resultado por el número de observaciones que se tengan. Si la varianza es calculada a una población (Total de componentes de un conjunto), la ecuación sería:

Ecuación 5-6

Donde ( ) representa la varianza, (Xi) representa cada uno de los valores, ( ) representa la media poblacional y (N) es el número de observaciones ó tamaño de la población. En el caso que estemos trabajando con una muestra la ecuación que se debe emplear es:

Ecuación 5-7

Donde (S2) representa la varianza, (Xi) representa cada uno de los valores, () representa la media de la muestra y (n) es el número de observaciones ó tamaño de la muestra. Si nos fijamos en la ecuación, notaremos que se le resta uno al tamaño de la muestra; esto se hace con el objetivo de aplicar una pequeña medida de corrección a la varianza, intentando hacerla más representativa para la población. Es necesario resaltar que la varianza nos da como resultado el promedio de la desviación, pero este valor se encuentra elevado al cuadrado.

DESVIACIÓN ESTÁNDAR O TÍPICA

Esta medida nos permite determinar el promedio aritmético de fluctuación de los datos respecto a su punto central o media. La desviación estándar nos da como resultado un valor numérico que representa el promedio de diferencia que hay entre los datos y la media. Para calcular la desviación estándar basta con hallar la raíz cuadrada de la varianza, por lo tanto su ecuación sería:

Ecuación 5-8

Para comprender el concepto de las medidas de distribución vamos a suponer que el gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto varían los pesos de los empaques (en gramos), de uno de sus productos; por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos. Los productos tienen los siguientes pesos (490, 500, 510, 515 y 520) gramos respectivamente.

Por lo que su media es:

La varianza sería:

Por lo tanto la desviación estándar sería:

Con lo que concluiríamos que el peso promedio de los empaques es de 507 gramos, con una tendencia a variar por debajo o por encima de dicho peso en 12 gramos. Esta información le permite al gerente determinar cuánto es el promedio de perdidas causado por el exceso de peso en los empaques y le da las bases para tomar los correctivos necesarios en el proceso de empacado.

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA

Denotaremos como a la probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor

Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria discreta a la aplicación que a cada valor de de la variable le hace corresponder la probabilidad de que la variable tome dicho valor:

Por definición, deducimos que si son los valores que puede tomar la variable entonces:

Ya que esta suma es, en realidad, la probabilidad del suceso seguro.

Ejemplo:

En el experimento de lanzar tres monedas al aire, la aplicación que asigna a cada resultado

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