Volumen De La Esfera
Enviado por caremelita • 4 de Diciembre de 2013 • 1.458 Palabras (6 Páginas) • 226 Visitas
El volumen de la esfera
Como todo el mundo sabe (o debería saber ya que se estudia en el colegio) el volumen de una esfera de radio R es:
Esta fórmula se debe al genial Arquímedes, y fue uno de sus grandes descubrimientos y del cual estaba muy orgulloso. Vamos a ver cómo lo consiguió.
Arquímedes partió de una semiesfera de radio R y colocó a su lado un cono recto y un cilindro circular recto, ambos con base de radrio también R:
Cortó las tres figuras con un plano paralelo a la base del cilindro (que quedara a distancia d de la parte superior de las tres figuras) y estudió cómo serían las secciones que este plano crearía en cada una de las figuras:
• Cilindro: circunferencia de radio R.
• Semiesfera: también una circunferencia pero de distinto radio, digamos r. Mirando la siguiente figura
y usando el teorema de Pitágoras tenemos que r2+d2=R2.
• Cono: también una circunferencia, pero ahora, como podemos se ve aquí
el radio es d.
Por tanto tenemos:
Sección cilindro=πR2=π(r2+d2)=πr2+πd2=Sección semiesfera+Sección cono
Las secciones de cada figura son como rebanadas de las figuras:
Si para cada rebanada se tiene la relación anterior parace bastante claro que los volúmenes siguen la misma relación. Es decir:
Volumen cilindro=Volumen semiesfera+Volumen cono
Pero Arquímedes conocía los volúmenes del cilindro y del cono:
Por tanto:
De donde multiplicando por 2 obtenemos el volumen de una esfera de radio R:
Volumen de un cono[editar • editar código]
El volumen de un cono de radio y altura es 1/3 del volumen del cilindro que posee las mismas dimensiones:
Un poliedro es un cuerpo geométrico que está limitado por cuatro o más polígonos.
Los polígonos que limitan al poliedro se llaman caras.
Los lados de las caras se denominan aristas.
Los vértices de las caras se denominan vértices.
• Poliedro convexo: al prolongarse sus caras • Poliedro cóncavo: al prolongarse sus caras,
no cortan al poliedro. alguna de ellas corta al poliedro.
•
Poliedro convexo: al prolongarse sus caras • Poliedro cóncavo: al prolongarse sus caras,
no cortan al poliedro. alguna de ellas corta al poliedro.
• Poliedros regulares: todas las caras son polígonos regulares iguales y en cada vértice se une el mismo
número de caras.
Solo existen cinco poliedros regulares:
Tetraedro Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro
Los prismas son poliedros que tienen dos caras paralelas e iguales llamadas bases y sus caras laterales son paralelogramos.
Desarrollo de un prisma
Elementos de un prisma
Altura de un prisma es la distancia entre las bases.
Los lados de las bases constituyen las aristas básicas y los lados de las caras laterales las aristas laterales, éstas son iguales y paralelas entre sí.
Área lateral de un prisma
Área total de un prisma
Volumen de un prisma
Ejercicios de prismas
Calcula la altura de un prisma que tiene como área de la base 12 dm2 y 48 l de capacidad.
Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un prisma cuya base es un rombo de de diagonales 12 y 18 cm.
El volumen de la esfera
Como todo el mundo sabe (o debería saber ya que se estudia en el colegio) el volumen de una esfera de radio R es:
Esta fórmula se debe al genial Arquímedes, y fue uno de sus grandes descubrimientos y del cual estaba muy orgulloso. Vamos a ver cómo lo consiguió.
Arquímedes partió de una semiesfera de radio R y colocó a su lado un cono recto y un cilindro circular recto, ambos con base de radrio también R:
Cortó las tres figuras con un plano paralelo a la base del cilindro (que quedara a distancia d de la parte superior de las tres figuras) y estudió cómo serían las secciones que este plano crearía en cada una de las figuras:
• Cilindro: circunferencia de radio R.
• Semiesfera: también una circunferencia pero de distinto radio, digamos r. Mirando la siguiente figura
y usando el teorema de Pitágoras tenemos
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