Aplicación de las ecuaciones e inecuaciones en los modelos económicos

APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES E INECUACIONES EN LOS MODELOS ECONÓMICOS

INTRODUCCIÓN

A lo largo del tiempo se ha comprobado la utilidad e importancia de las ecuaciones e inecuaciones en nuestra vida diaria, podemos mencionar que las ecuaciones se usan desde tiempos muy remotos, en el siglo XVII a.C los matemáticos de Mesopotamia y de Babilonia sabían resolver ecuaciones, así mismo, en el siglo XVI a.C los matemáticos egipcios desarrollaron un álgebra muy elemental que usaron para resolver problemas de su día a día.

Es por ello que la presente monografía trata sobre el tema de las ecuaciones e inecuaciones aplicadas en la carrera de economía, el motivo por el cual abordaremos este tema es porque la economía y el uso de las ecuaciones lineales e inecuaciones buscan comprender la importancia de los costos, ofertas, demandas, consumos, punto de equilibrio y otros.

Por otro lado, nuestro propósito es profundizar nuestros conocimientos sobre el tema, tanto teórica como práctica y llevarlo a cabo en la toma de decisiones en la economía puesto que es fundamental en una sociedad, por consiguiente administrar correctamente los recursos, satisfacer necesidades de manera eficaz y permitir el desarrollo de un país.

CAPÍTULO I

MODELOS MATEMÁTICOS BÁSICOS

1.1 CONCEPTOS BÁSICOS

Definimos a los modelos matemáticos que utilizan fórmulas matemáticas que tienen como objetivo representar la relación entre distintas variables, parámetros y restricciones. Los modelos matemáticos son una representación simplificada, a través de las ecuaciones, fórmulas matemáticas, de la relación entre dos o más variables. La rama de las matemáticas que se encarga de estudiar su estructura es denominada “Teoría de los modelos”.

1.2 CARACTERÍSTICAS

Todos los modelos matemáticos varían en cuanto a su complejidad, pero estos presentan características básicas que son:

Variables: los conceptos que se busca entender, con respecto a la relación con otras variables, un ejemplo de esto, la variable del salario de unos trabajadores y lo que buscaremos analizar son sus determinantes que en este caso podrían ser años de estudio, desenvolvimiento, etc.

Parámetros: valores conocidos o también denominados controlables del modelo.

Restricciones: determinados límites que nos indican los resultados de los análisis y son razonables.

Relaciones entre las variables: relación entre variables que se apoyan en teorías.

Representaciones simplificadas: una característica esencial que representa la relación entre las variables estudiadas a través de elementos de las matemáticas tales como: funciones, ecuaciones, fórmulas, etc.

1.3 CLASIFICACIÓN

Podríamos clasificar a los modelos en base a series dicotómicas (conceptos complementarios)

Empíricos o Teóricos: este constituye la característica fundamental de un modelo, se basa en leyes físicas que rigen los procesos.

Deterministas o Estocásticos: los primeros incluyen generadores de procesos aleatorios dentro de un modelo que modifica algunas variables, un modelo determinista es aquel en que un conjunto de parámetros y variables de entrada va a producir siempre el mismo conjunto de variables de salida .

Estáticos o Dinámicos: estos se refieren a la forma en que se trata al tiempo, estos dan resultado para todo el periodo de tiempo considerado.

Agregados o Distribuidos: En el primer caso toda el área de estudio se considera de forma conjunta, en un modelo distribuido, tendremos el área de estudio dividida en porciones cada una de ellas con su propio conjunto de parámetros y sus propias variables de estado.

1.4 ECUACIONES

Una ecuación es una proposición que indica que dos expresiones son iguales. Las dos expresiones que conforman una ecuación son llamadas sus lados o miembros y están separadas por el signo de igualdad “=”. Así mismo, tienen letras (incógnitas) con valor desconocido, el grado de una ecuación viene dado por el exponente mayor de la incógnita.

1.4.1 ECUACIONES DE PRIMER GRADO O ECUACIÓN LINEAL

Una ecuación lineal en la variable x puede ser escrita en la forma:

ax + b = 0

Donde:

a y b son constantes

a ≠ 0

Una ecuación lineal también llamada ecuación de primer grado o ecuación de grado uno, ya que la potencia (exponente) más alta de la variable que aparece en la ecuación es la primera (1).

EJEMPLO

Resolver

5x – 6 = 3x Solución

Simplificar la x en un lado y las constantes en el otro.

5x – 6 = 3x

5x – 6 - 3x = 0

2x – 6 = 0

2x = 0 + 6

2x = 6

x = 6/2

x = 3 (pasamos el 3x al otro miembro)

(Restamos los términos con variable x)

(pasamos el 6 al otro miembro)

(simplificando)

(dividimos entre 2)

El conjunto solución es {3}

1.4.2. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO O CUADRÁTICA

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es aquella en la cual el mayor exponente de la incógnita es dos y viene expresada de la siguiente forma

ax^2+bx+c=0

Donde:

a y b son los coeficientes de la ecuación.

c es el término independiente.

tiene que ser a≠0.

Si b≠0 y c≠0, se dice que la ecuación es completa.

Si b=0 ó c=0 la ecuación es incompleta.

Generalmente una ecuación de segundo grado posee dos soluciones. Por tanto, al resolver este tipo de ecuaciones intentamos encontrar los valores que pueden tomar la incógnita para que la igualdad planteada se cumpla. Al resolver una ecuación nos podemos encontrar con tres casos, los que se pueden resolver de distintas maneras, para facilitar el trabajo.

EJEMPLO

Solución por factorización

Resolver a en 5a^2+15a=0

5a^2+15a=0

El problema nos pide resolver a; empecemos por factorizar el lado izquierdo de la ecuación.

5〖(a〗^2+3a)=0 5 es factor común de 5a^2 y 15a

5〖a(a〗^2+3)=0 a es factor común de a^2 y 3a

Solución por completación de cuadrados

Resolver

〖2x〗^2+12x-6=0

x^2+6x-8=0

x^2+6x=8

x^2+6x+〖(3)〗^2=8+9

〖(x+3)〗^2=17

x+3=±√17

x_1=-3+√17

x_2=-3-√17 Solución

(Dividir ambos lados de la ecuación entre 2)

(Reescribir la ecuación y obtener la forma x^2+bx)

(Sumar 〖(6/2)〗^2 ambos lados completando cuadrados)

(Escribir el lado izquierdo un binomio cuadrado)

(Sacar las raíces cuadradas de ambos lados)

(Resolver x, esto nos da las coordenadas en x de las raíces, o las soluciones de la ecuación cuadrática)

Solución por fórmula cuadrática o general

Usando la fórmula general, muestra que la ecuación 5x^2+4x+10=0 no tiene soluciones reales.

Solución

Con los valores

a=5,b=4 y c=10,tenemos

x=(-b±√(b^2-4ac))/2a

x=(-(4)±√(〖(4)〗^2-4(5)(10)))/(2(5))

x=(-(4)±√(16-200))/10

x=(-4±√(-184))/10

⇒Tenemos un número negativo dentro de la raíz cuadrada √(-184), por lo tanto no tiene solución real.

1.5 INECUACIONES

Una inecuación es una desigualdad matemática con al menos una incógnita. En estas expresiones se utilizan signos como: < (menor que), > (mayor que), ≤ (menor igual que), ≥(mayor igual que). La solución de cada una de estas inecuaciones es un conjunto de valores que hace que la desigualdad sea cierta, a través de un intervalo (o un conjunto de intervalos).

EJEMPLO

Resolver

2 x+1≤ x+3

2 x−x ≤ 3−1

x ≤ 2 Solución

(Ordenamos las incógnitas y los términos independientes)

(Restamos y hallamos los valores de x)

Solución: x ∈ (-∞, 2]

CAPÍTULO II

USO DE LAS ECUACIONES E INECUACIONES EN MODELOS ECONÓMICOS

2.1 EFECTO O ECUACIÓN DE FISHER

El efecto Fisher demuestra la conexión entre las tasas de interés reales, las tasas de interés nominales y la tasa de inflación. Según el Efecto Fisher, la tasa de interés real es igual a la tasa de interés nominal menos la tasa de inflación esperada.

2.1.1 LA TASA DE INFLACIÓN

Es el coeficiente que refleja el aumento de precios en la adquisición de bienes y servicios en una determinada nación, en un lapso de tiempo ya sea trimestral o anual, a su vez se fijan un año determinado para la comparación.

2.1.2 LA TASA DE INTERÉS NOMINAL

Es el porcentaje de interés o ganancia que algún agente financiero propone mediante un contrato y pago, sin embargo no considera la inflación de la moneda del contrato y lo pasa por desapercibido.

2.1.3 LA TASA DE INTERÉS REAL

Es el cálculo en el que se toma en consideración la tasa de interés con la tasa de inflación, esta implica el rendimiento neto que se genera con un capital ajustando y descontando la inflación de una moneda.

El resultado en la práctica, es que a medida que aumentan las tasas de inflación, las tasas de interés reales bajan, cuando las tasas nominales no aumentan a tasas iguales a las de la inflación. Este efecto no siempre es inmediatamente visible, pero con el tiempo, es un patrón económico consistente. (Belda, 1999, 14)

2.1.4 ECUACIÓN DEL EFECTO FISHER

La ecuación del efecto Fisher es la siguiente:

r = i - t Una fórmula más exacta y complicada para la ecuación de Fisher es la siguiente:

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