Desigualdad Triangular
Enviado por javier020910 • 24 de Febrero de 2015 • 1.144 Palabras (5 Páginas) • 292 Visitas
Desigualdad triangular
1. Desigualdad triangular del valor absoluto de números reales
Para x, y números reales se cumple
| x + y | ≤ | x | + | y |.
Demostración: Para x e y se verifican las desigualdades:
- | x | ≤ x ≤ | x |
- | y | ≤ y ≤ | y |
Sumando ambas desigualdades tenemos
- (| x | +| y | ) ≤ x + y ≤ | x | + | y |
y de aquí se obtiene el resultado.
2. Desigualdad del cuadrilátero. Si a, b, c y d son números reales, entonces se tiene
a b + c d ≤ [( a2 + c2 ) ( b2 + d2) ]½
Demostración: Elevando al cuadrado el miembro izquierdo se tiene:
( a b + c d )2 = a2 b2 + 2 a b c d + c2 d2 ≤ a2 b2 + a2 d2 + c2 b2 + c2 d2 (1)
haciendo uso de la desigualdad 2 x y ≤ x 2+ y 2 la cual es cierta para x e y números reales.
Factorizando el segundo miembro de la desigualdad (1) obtenemos
( a b + c d )2 ≤ ( a2 + c2 ) ( b2 + d2)
y de aquí se obtiene el resultado, al tomar raíces cuadradas en ambos lados.
3. Desigualdad triangular para los números complejos.
Sean Z = a + bi y W = c + di , dos números complejos, entonces se tiene
| Z + W | ≤ | Z | + | W |.
Demostración: Tenemos las igualdades
| Z + W | 2 = ( Z + W ) ( Z + W ) = Z Z + W W + Z W + Z W
= | Z | + | W | + Z W + Z W
Si logramos probar que
Z W + Z W ≤ 2 | Z | | W | ( 1)
se tendrá entonces | Z + W | 2 ≤ (| Z | + | W |)2 y de aquí se obtendrá el resultado.
Notemos que
Z W + Z W = (a + bi )(c - di) + (a - bi )(c + di)
= ac + bd - ( ad - bc ) i + ac + bd + ( ad - bc ) i
= 2 ( ac + bd )
≤ 2 [( a 2+ b 2)( c 2+
...