EL METODO DE LAS S

APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES EN LA INGENIERIA INDUSTRIAL

Hasta ahora “únicamente” hemos aprendido a calcular integrales, sin plantearnos la utilidad que éstas pueden tener. Sin embargo, la integral definida es un método rápido para calcular áreas, volúmenes, longitudes, etc., lejos de los procesos lentos y laboriosos que empleaban los griegos. En física, su empleo es constante, al estudiar el movimiento, el trabajo, la electricidad.

Ahora vamos a ilustrar las distintas aplicaciones que tiene el cálculo integral

1. Cálculo de áreas planas

Tal cómo hemos visto antes, la integral definida es una generalización del proceso del cálculo de áreas.

Ahora bien, el área de un recinto es siempre positiva, mientras que la integral puede ser positiva, negativa o nula. Por tanto, en la aplicación de la integral al cálculo de áreas, debe tenerse en cuenta el signo de cada uno de los recintos limitados por el eje OX , y tomar el valor absoluto de los mismos. Su suma es el área.

2. Cálculo de volúmenes

Al introducir la integración, vimos que el área es solamente una de las muchas aplicaciones de la integral definida. Otra aplicación importante la tenemos en su uso para calcular el volumen de un sólido tridimensional.

Si una región de un plano se gira alrededor de un eje E de ese mismo plano, se obtiene una región tridimensional llamada sólido de revolución generado por la región plana alrededor de lo que se conoce como eje de revolución. Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción. Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos.

Existen distintas fórmulas para el volumen de revolución, según se tome un eje de giro paralelo al eje OX o al eje OY . Incluso a veces, es posible hallar el volumen de cuerpos que no son de revolución.

2.1. Volúmenes de revolución: El Método de los discos

Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El más simple de ellos es el cilindro circular recto o disco, que se forma al girar un rectángulo alrededor de un eje adyacente a uno de los lados del rectángulo. El volumen de este disco de radio R y de anchura ω es:

Volumen del disco = π ω R2 Para ver cómo usar el volumen del disco para calcular el volumen de un sólido de revolución general, consideremos una función continua f x( ) definida en el intervalo [ ] a b, , cuya gráfica determina con las rectas x a = , x b = , y = 0, el recinto R. Si giramos este recinto alrededor del eje OX , obtenemos un sólido de revolución.

Se trata de hallar el volumen de este cuerpo engendrado por R. Para ello hay que seguir un proceso similar al realizado en la definición de integral definida.

2.2. Volúmenes de revolución: El Método de las arandelas

El método de los discos puede extenderse fácilmente para incluir sólidos de revolución con un agujero, remplazando el disco representativo por una arandela representativa. La arandela se obtiene girando un rectángulo alrededor de un eje. Si R y r son los radios externos e internos de la arandela, y ω es la anchura de la arandela, entonces el volumen viene dado por:

Volumen de la arandela = π ω ( R² − r²)

2.3. Método de secciones conocidas

En este apartado veremos cómo se calcula el volumen de algunos cuerpos geométricos cuando conocemos el área de las bases de los cilindros parciales

...