LÍMITES Y DERIVADAS DE UNA FUNCIÓN

[pic 1]

INSTITUTO TECNOLOGICO

SUPERIOR GUAYAQUIL

 CARRERA DE ANALISIS EN SISTEMA

        LÍMITES Y DERIVADAS

DE UNA FUNCIÓN

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN

AUTORES

LUIS GARCÍA

FERNANDO PILOSO

JHON VELÁSQUEZ

PROFESOR

XXXXXXXXXXXXXXXXXXX

GUAYAQUIL – ECUADOR

2017

TABLA DE CONTENIDOS

TABLA DE CONTENIDOS        ii

CAPÍTULO I INTRODUCCIÓN        1

1.1 Antecedentes        1

1.2 Objetivos        2

1.2.1 General        2

1.2.2 Específicos        2

CAPÍTULO II DEFINICIONES Y TEOREMAS        3

2.1 Limites        3

2.1.1 Definición intuitiva de limite        3

2.1.2 Definición formal de límite        4

2.1.3 Teoremas básicos de límites        5

2.2 Continuidad de funciones        12

2.2.1 Continuidad de funciones conocidas        12

2.2.2 Teorema del límite de la composición        13

2.2.3 Teorema del valor intermedio para funciones continuas        14

2.3 Derivada de funciones        14

2.3.1 Símbolos para representar las derivadas        19

2.3.2 Fórmulas de derivación        22

2.4 Integrales        23

2.4.1 Propiedades de la integral definida.        25

CAPÍTULO III EJERCICIOS        27

3.1 Calculo de límites de funciones        27

3.2 Ejemplos de continuidad        29

3.3 Ejemplos de derivadas        31

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES        31

1- Conclusiones         31

2- Recomendaciones        31

      BIBLIOGRAFÍA        34

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1. Gráfica de la función 1/x        10

Figura 2. Valor intermedio para funciones continuas        14

Figura 3. Función de la parábola        15

Figura 4. Área bajo la curva        23

Figura 5. Particiones del intervalo        23

Figura 6. Aproximación por rectángulos        24

Figura 7. Aproximación por rectángulos hacia el infinito        25

1. 
   INTRODUCCIÓN

1. Antecedentes

Los orígenes del Cálculo estuvieron motivados por el deseo de resolver diversos problemas vinculados al movimiento de los cuerpos, así como problemas de tipo geométrico de importancia en óptica y problemas de cálculo de valores máximos y mínimos de una función dada. Simplificando, podemos destacar dos problemas principales en:

• Determinar la tangente a una curva en un punto (el problema de las tangentes).
•  Determinar el área encerrada por una curva (el problema de las cuadraturas).

Los conceptos de derivada e integral, respectivamente, son los que permiten resolver satisfactoriamente dichos problemas. Mientras que el concepto de integral tiene sus raíces en la antigüedad clásica, la otra idea fundamental del Cálculo, la derivada, no se formuló hasta el siglo XVII. Fue el descubrimiento efectuado por Sir Isaac Newton (1642 - 1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) de la relación entre estas dos ideas, tan dispares en apariencia, lo que inició el magnífico desarrollo del cálculo (Martinez , 2012).

Newton desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes. En 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedicó a reestructurar las bases de su cálculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de fluxión, que para él era la velocidad con la que una variable “fluye” con el tiempo.

Leibniz, por su parte, descubrió y comenzó a desarrollar el cálculo diferencial en 1675. Fue el primero en publicar los mismos resultados que Newton descubriera 10 años antes. En su investigación conservó un carácter geométrico y trató a la derivada como un cociente incremental y no como una velocidad. Fue quizás el mayor inventor de símbolos matemáticos. A él se deben los nombres de: cálculo diferencial y cálculo integral, así como los símbolos  y el símbolo de la integral   (Martinez , 2012)...[pic 2][pic 3]

1. Objetivos

2. General

Demostrar y aplicar los teoremas más importantes referentes a límites de funciones y derivadas y comprender la importancia del tema, mediante la investigación científica e implementar los conocimientos adquiridos para expandir lo investigado, para fundamentar y desarrollar habilidades en el desarrollo de cálculos matemáticos.

1. Específicos

1. Definir formalmente el concepto de límite de una función en un punto dado
2. Demostrar y aplicar los teoremas más importantes referentes a límite de funciones
3. Calcular límites de funciones usando las propiedades
4. Demostrar y aplicar los teoremas más importantes referentes a la continuidad de funciones
5. Demostrar y aplicar los teoremas más importantes referentes a la derivada de una función
6. Calcular derivadas de funciones usando la definición y las reglas de derivación
7. Definir formalmente el concepto de integralidad de una función.

1. 
   DEFINICIONES Y TEOREMAS

1. Limites

2. Definición intuitiva de límite

Ciertas funciones de variable real presentan un comportamiento un tanto singular en la cercanía de un punto, precisar sus características es la intención del presente trabajo y el estudio del límite explica tal comportamiento.

Para una mejor comprensión del comportamiento de las funciones en un punto cercano se plantea el siguiente ejemplo de manera ilustrativa en donde por simple inspección se puede concluir e idealizar el concepto de límite:

Ejemplo 1: Observar el comportamiento de la función  con regla de correspondencia  en las cercanías cuando [pic 4][pic 5][pic 6]

[pic 7]

Las flechas indican la aproximación a un mismo valor en ambas direcciones, se observa que el valor de y acerca a cinco. Aunque por el momento solo se hayan puesto a prueba seis valores podemos concluir de manera intuitiva que la función tiene a 5 cuando su variable independiente (x) toma valores muy cercanos a 2, el comportamiento de la siguiente función puede ser descrito de la siguiente manera:

[pic 8]

1. Definición formal de límite

En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor.

Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto p, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a p, pero distintos de p.

En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición de límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo se van aproximando a un punto fijado c, independientemente de que éste pertenezca al dominio de la función. Esto se puede generalizar aún más a funciones de varias variables o funciones en distintos espacios métricos.

Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:

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Si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee.

Para un mayor rigor matemático se utiliza la definición épsilon-delta de límite, que es más estricta y convierte al límite en una gran herramienta del análisis real. Su definición es la siguiente:

En el estudio de Contreras y García (2012) se hace referencia al propuesto de Bernard Bolzano (1817) en relación con la definición formal del límite de una función de la siguiente forma:

...