Limite de funciones

LIMITE DE FUNCIONES

LIMITE DE FUNCIONES

METODO INDIRECTO: Si f (c) no está definida, en este caso el proceso consiste en modificar  algebraicamente(si es posible) la expresión dada hasta obtener otra función equivalente en la cual pueda aplicarse el método directo; al método indirecto se presenta generalmente en funciones racionales, es decir, de la forma [pic 1] y además pueden presentarse los siguientes caso.

1. Si  [pic 2], con  [pic 3], entonces el límite de f no existe, esto es, no hay forma de modificar la expresión original para aplicar el método directo

Ejemplo: Calcular si es posible  [pic 4]

Solución: Aquí puede notarse que  [pic 5] y  [pic 6], además  [pic 7]

y   [pic 8], entonces por lo expresado antes, el límite de f(x) no existe.

B: Si  [pic 9], con  [pic 10], en este caso, el límite de f(x) puede o no existir y para ello  modificar algebraicamente la expresión original conduce en muchos casos a otra expresión equivalente donde es posible aplicar el método directo.

Ejemplo. Calcular  [pic 11]

Solución: Si se intenta aplicar el método directo puede notarse que conduce a una expresión no definida, esto es, [pic 12], lo cual no corresponde a ninguna forma determinada ya que la división por cero no existe; ahora modificando algebraicamente la expresión se tiene,  [pic 13].

1. Si f(x) = g(x) – h(x)    y  además   [pic 14] no existen, entonces combinar las dos funciones para formar una sola en muchos casos conduce a una nueva expresión en donde pueda ser posible la resolución del límite.

Ejemplo: Calcular  [pic 15]

Solución: Al efectuar las operaciones, teniendo en cuenta que se refiere a sustracción de fracciones con igual denominador se obtiene, [pic 16]

El método anterior, desde el punto de vista gráfico corresponde a funciones en las cuales se presentan interrupciones como muestran las gráficas  2A. y   2B  

                          Gráfica 2A                                                              .

 
                                                                                                                                     [pic 17][pic 18]

                  Gráfica 2B[pic 19]

[pic 20][pic 21][pic 22]

[pic 23]

                                                     c

1. TALLER: Usa la información tratada para la resolución de los ejercicios planteados

1) [pic 24]                   2)  [pic 25]                    3)   [pic 26]                   4)  [pic 27] 

5)  [pic 28]               6)  [pic 29]                    7)  [pic 30]                           8) [pic 31] 

9) [pic 32]         10) [pic 33]           11) [pic 34]          12) [pic 35]

13) [pic 36]       14) [pic 37]                 15) [pic 38]                  16) [pic 39]

17) [pic 40]              18) [pic 41]            19) [pic 42]      20)  [pic 43]

21: [pic 44]                22: [pic 45]                  23: [pic 46]

24)  La eficiencia teórica  para una planta eléctrica está dada por  [pic 47], en donde  [pic 48] son las temperaturas absolutas respectivas de las reservas más calientes y más frías de la planta. Encontrar:     a) [pic 49] ¿Cuál es el significado?           b) [pic 50]     ¿Qué significa la respuesta?

25) Se estima que la población de cierto pueblo dentro de t años  será  [pic 51], estime aproximadamente la población actual.

26) El costo de eliminar x % de la contaminación del agua en cierto río está dada por la ecuación  [pic 52] para [pic 53]. Evaluar  [pic 54]  ¿Cómo interpretas la respuesta?

27) En un colegio de la ciudad, el porcentaje de estudiantes que sufre de gripe t días después del primer caso reportado está dado por la expresión  [pic 55]. Calcula e interpreta   [pic 56].

28) Un estudio ambiental de cierta comunidad revela que el nivel medio diario de monóxido de carbono en el aire será  [pic 57] unidades cuando la población  es p miles de habitantes. Se estima que dentro de  t años la población será  [pic 58] miles de habitantes, determinar. a) El nivel medio de monóxido de carbono en el aire como función del tiempo           b) El estimativo de la población dentro de 10 años

c) El nivel medio de monóxido de carbono aproximado dentro de 3 años

29) Por los avances tecnológicos, el precio de cierto ventilador decrece y se estima que dentro de x meses el precio será  [pic 59] pesos. a) ¿Cuál es el precio actual?    b) ¿Cuál será el precio estimado dentro de 5 meses y cuál su decrecimiento?

1.                                           LIMITES CON INFINITOS

 En esta sección serán tratados aquellos casos de funciones que crecen o decrecen indefinidamente cuando la variable independiente(x) se aproxima a un determinado valor c, esto es,  los valores de f(x) muy grandes o muy pequeños, lo cual es común notar como [pic 60]

El símbolo   [pic 61]que se lee infinito, en ningún caso representa un número, ni significa que el límite existe, solamente expresa una forma particular de decir que el límite en el punto c no existe.

Ejemplo 1: En [pic 62], es claro que f(x) crece indefinidamente cuando x se a cero, lo cual se simboliza como [pic 63]y como además puede notarse en la gráfica 1,

[pic 64]

                                                                                  La gráfica muestra que cuando x se aproxima a

                                                                              cero, por izquierda o por derecha, los valores de  

                                                                              la función crecen indefinidamente, por esta razón

                                                                               se afirma que el límite tiende a infinito, lo cual

                                                                               se simboliza  por la expresión  [pic 65]

De lo expuesto anteriormente se infiere la siguiente definición: Si f es una función definida por izquierda y por derecha de un punto c(excepto posiblemente en c), entonces [pic 66]significa que los valores de f(x) se pueden hacer arbitrariamente grandes eligiendo valores para x muy cercanos a c. De forma análoga se puede hablar de [pic 67]para indicar que los valores de f(x)  decrecen arbitrariamente cuando se escoge x muy próximo a c por izquierda o por derecha.

Ejemplo: Encontrar  [pic 68]

Solución: Es claro que la expresión  [pic 69] significa que x se aproxima a 4 por la izquierda, esto es, los valores de x son menores que 4, por lo tanto, x – 4 será un número negativo muy pequeño, lo cual conduce a que  [pic 70] sea un número negativo muy grande en valor absoluto y esto significa que el límite tiende a infinito, lo cual se nota como  [pic 71]

Seguidamente serán tratados otros casos similares a los anteriores, con la diferencia  de que ahora  quien crece o decrece indefinidamente será la variable independiente x, y se desea saber lo que ocurre con los valores de la función en tales circunstancias, esto es, se analizarán limites de funciones que tengan la forma  [pic 72]. En el cálculo de límites que involucran infinitos es muy común encontrarse con las llamadas formas indeterminadas, esto es, funciones  que no están definidas en un punto y que a manera de resumen se pueden señalar como aparece seguidamente.

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