Resumen de límites, continuidad y derivada de funciones

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UNIVERSIDAD DIGITAL DEL ESTADO DE MÉXICO

LICENCIATURA EN INFORMÁTICA ADMINISTRATIVA

ESTUDIANTE: Moisés

MATRÍCULA: UDX042310020

ASESOR (A):

UNIDAD DE APRENDIZAJE: UNIDAD I LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADA DE FUNCIONES

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE: 1.1

Número. Nombre

RESUMEN

FECHA DE ENTREGA

6 JULIO DEL 2023

Tabla de contenido

INTRODUCCIÓN        2

RESUMEN        4

Límites        4

Límites de una función        4

Límite de la función en un punto y límites laterales de una función        5

Límites laterales de una función        7

Teoremas de límites        8

Límites indeterminados        8

¿Cómo evitar indeterminación en límites?        9

Continuidad        9

Funciones continuas        9

Funciones discontinuas        10

CONCLUSIONES        12

FUENTES CONSULTADAS        13

INTRODUCCIÓN

¿Qué es el cálculo?

Es una rama fundamental de las matemáticas  por medio de su estudio nos permite comprender y describir de una manera precisa la variación y el cambio. Dentro del estudio de esta rama se encuentra el campo de límites y continuidad. Al adentrarnos en este estudio podemos observar el porqué de las funciones, por qué el comportamiento, por qué se acercan a ciertos valores, por qué mantienen una conexión fluida y sin interrupciones, etc.

Dentro de este análisis encontramos que los límites son aquella aproximación de un valor que tiene hacia un punto. Por medio de estos límites podemos obtener información esencial del comportamiento de la función así como sus características y el por qué de su trazo. Tomando en cuenta otro punto tenemos a la continuidad la cual hace referencia de la suavidad que tiene una función; en otras palabras se refiere a que una función no tiene ninguna interrupción en su trazo, y su grafica no contiene ningún hueco, quiebre o salto, esto a su vez nos demuestra que la función tiene una conexión fluida entre los puntos.

El estudio de estos temas es de vital importancia para comprender otros conceptos de mayor nivel como lo son la derivada y la integral. Esto a su vez afirma su importancia al no solo tener un espacio dentro del cálculo sino también dentro de la física, economía y la ingeniería.

El siguiente trabajo tomará en cuenta estos temas y contendrá un resumen de ellos. Dentro del resumen se encuentran conceptos y ejemplos con sus respectivas gráficas.

RESUMEN

Límites

De acuerdo con UDEMEX (2022), podemos ver el significado de límite en el lenguaje común y en el lenguaje de cálculo. En el lenguaje común se refiere a un término, confín o lindero pero en cálculo se refiere a acercarse lo más posible a un punto o valor, aunque no siempre se llegue al mismo. También se refiere a alejarse cuanto se pueda del origen e incluso a hacer un número lo más grande posible (UDEMEX, 2022)

De acuerdo con UDEMEX (2022), la siguiente función [pic 5]se lee de la siguiente manera: “El límite de una función real de variable real con  regla de correspondencia y=f(x) cuando la variable independiente x tiende a un valor fijo b, es el valor L hacia el cual tiende la función.

En otras palabras, el límite de f(x) cuando x tiende a b (o su límite es b) es igual a L.

Como ejemplo a esta función tenemos:

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Figura 1. Ejemplo de limite (Fisicalab, 2023)

Límites de una función

Para aclarar este punto se toma la siguiente función de ejemplo, f(x)=-1[pic 7]

Al tratar de saber el comportamiento de f, utilizamos diferentes valores en x que sean cercanos a 2 pero no iguales a 2.

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Figura 2. Tabla de comparación de una función de límite. (UDEMEX, 2022)

Tomando en cuenta la tabla anterior, podemos ver que al utilizar valores diferentes en x cada vez más cercanos a 2, la función es cada vez más cercana a 3, esto nos indica que el valor del límite de la función es 3. Se escribe de la siguiente manera:  Se debe considerar que al calcular  no tiene importancia si la función f(x) está definida o no en b.[pic 9][pic 10]

Límite de la función en un punto y límites laterales de una función

De acuerdo con Fisicalab (2020) el límite de una función real en un punto a es el valor L al que se aproxima la función (es decir, su coordenada y) a medida que la coordenada x se aproxima a a.

Tomaremos el siguiente ejemplo para su explicación: [pic 11] En cada iteración te aproximarías a valor de la distancia total, y, si este proceso se repitiera infinitas veces, este valor se alcanzaría. ¿Qué valor alcanza la función (es decir, su coordenada y) cuando la x se aproxima a 3?

Si calculamos f(3) el resultado sería 0/0 lo cual no tendría sentido, pero si se hacen aproximaciones sucesivas ocurre lo siguiente:

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Figura 3. Aproximación a x=3 (Fisicalab, 2023)

A medida que se aproxima x=3 sin alcanzarlo, el valor de la función se aproxima a 1. Los valores que se han tomado para x son ligeramente menores que 3.

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Figura 4. Valores de la función conducen a 1 (Fisicalab, 2023)

Según Fisicalab (2020), esta sucesión también nos conduce a 1, por lo tanto se puede afirmar que 1 es el límite, cuando x se va aproximando a 3 y escribir lo siguiente: [pic 14]

Para esta función tenemos la siguiente gráfica:

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Figura 5. Gráfica de límite de función. (Fisicalab, 2023)

Límites laterales de una función

Podemos estudiar el comportamiento de una función en un punto, acercándonos por la derecha o la izquierda, con el fin de saber el valor al cual tiende la función en ese punto.

El límite lateral por la izquierda, de acuerdo con Funciones (2023), se expresa con un signo – en el punto donde se analiza el límite, y por otro lado, el límite lateral por la derecha se indica con el signo +.

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Figura 6. Ejemplo de límites laterales (Funciones, 2023)

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Figura 7. Gráfica de límites laterales (Fisicalab, 2023)

Teniendo en cuenta el gráfico, la función tiende a 3 cuando x tiende a 2 por la izquierda. Pero en el límite de la función en x=2 por la derecha vale 6, porque si nos acercamos al punto x=2 desde su derecha, la función va tomando valores cada vez más cercanos a f(x)=6. (Funciones, 2023)

Teoremas de límites

Estos se entienden como la forma directa para calcular el límite de una función.

De acuerdo con UDEMEX (2022), Estos son los teoremas más comunes.

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Figura 8. Tabla de teoremas de límites (UDEMEX, 2022)

Por ejemplo, para la siguiente función   debemos saber qué teorema usar para resolverla.[pic 19]

Según UDEMEX (2022), se usara el teorema 5         [pic 20]

Y después los teoremas 3, 4 y 1         =4(-3(2)+1[pic 21]

Y el resultado del valor del límite es         =3

Límites indeterminados

Según Durán (2019), los límites indeterminados (o indeterminaciones) no indican que el límite no exista, sino que no se puede anticipar el resultado. Entonces, para obtener el el valor del límite (si es que existe), se tienen que hacer operaciones adicionales para eliminar la indeterminación.

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