Unidad 5 Calculo Vectorial

• INTRODUCCIÓN La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños. el cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución. Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René descartes, Isaac newton, GottfriedLeibniz e IsaacBarrow. Los trabajos de este último y los aportes de newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos. Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral Es igual al área de la región del plano (x,y) limitada entre la gráfica de f, el eje x, y las líneas verticales x = a y x = b, donde son negativas las áreas por debajo del eje x.1

• INTEGRAL DE LÍNEA Unaintegral de línea es una integral donde la función a integrar es evaluada a lo largo de una curva. Se utilizan varias integrales curvilíneas diferentes. en el caso de una curva cerrada también se la denomina integral de contorno. La función a integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial. El valor de la integral curvilínea es la suma de los valores del campo en los puntos de la línea, ponderados por alguna función escalar de la curva (habitualmente la longitud del arco o, en el caso de un campo vectorial, el producto escalar del campo vectorial por un vector diferencial de la curva). Esta ponderación distingue las integrales curvilíneas de las integrales más sencillas definidas sobre intervalos. muchas fórmulas sencillas de la física tienen de forma natural análogas continuas en términos de integrales de línea; por ejemplo, el hecho de que el trabajo sea igual a la fuerza multiplicada por la distancia se puede expresar (en términos de cantidades vectoriales) como: Que tiene su paralelismo en la integral de línea Que acumula los componentes vectoriales a lo largo de un camino continuo, y así calcula el trabajo realizado por un objeto al moverse a través de un campo, como por ejemplo un campo eléctrico o un campo gravitatorio. La integral de línea tiene varias aplicaciones en el área de ingeniería, y una de las interpretaciones importantes para tales aplicaciones es el significado que posee la integral de línea de un campo escalar. En matemática, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también integral de contorno. Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser: el cálculo de la longitud de una curva en el espacio; el cálculo del volumen de un objeto descrito por una curva, objeto del que se posee una función (campo escalar) que describe su volumen a lo largo de la curva; ó también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.2

• TRABAJANDO INTEGRALES DE LÍNEA A la hora de trabajar integrales de línea debemos, considerar los siguientes pasos, para realizar con éxito nuestro cálculo: Primero debemos parame trizar la curva sobre la cual estamos trabajando: Luego trabajamos la función a evaluar, sustituyendo el resultado de la parametrizacion en dicha función. He integramos: Luego sustituimos ds por: Teniendo así lo siguiente: EJERCICIO 1 evaluar la integral de línea del campo vectorial sobre la trayectoria de una hélice Solución: se resuelve la integral de acuerdo a la definición3

• INTEGRALES ITERADAS DOBLES Y TRIPLES Integrales dobles como volúmenes. Cuando f(x ,y) es positiva podemos interpretar la integral doble de f sobre una región rectangular r como el volumen del prisma sólido limitado abajo por r y arriba por la superficie z = f(x, y). Cada termino f (xk, yk) "ak en la suma sn = "ak es el volumen de un prisma rectangular vertical que aproxima el volumen de la porción del sólido que está directamente arriba de la base "ak. la suma sn aproxima entonces a lo que llamamos volumen total del sólido. Definido este volumen como: Teorema de fubini para calcular integrales dobles. Suponga que queremos calcular el volumen bajo el plano z=4-x-y sobre la región rectangular en el plano xy. Entonces el volumen es Donde a(x) es el área de la sección transversal en x. para cada valor de x podemos calcular a(x) como la integral que es el área bajo la curva z=4-x-y en el plano de la sección transversal en x. al calcular a(x), x se mantiene fija y la integración se efectúa respecto a y. al combinar (4) y (5), vemos que el volumen de todo es sólido es:4

• Si quisiéramos escribir sólo las instrucciones para calcular el volumen, sin llevar a cabo ninguno de las integraciones, podríamos escribir La llamada integral repetida o iterada, dice que el volumen se obtiene integrando 4-x-y respecto a y de y=0 a y=1, manteniendo fija a x y luego integrando la expresión resultante en x respecto a x=0 a x=2. ¿Qué pasa si calculamos el volumen formando rebanadas con planos perpendiculares al eje? ¿Cómo función de y, el área transversal típica es? Por tanto el volumen de todo el sólido es Ejemplo. Calcule Solución. Por el teorema de fubini, Si invertimos el orden de integración se obtiene la misma respuesta:5

• DEFINICIÓN DE INTEGRAL TRIPLE Una integral triple es una generalización de una integral doble en el mismo sentido que una doble es una generalización de una integral sencilla. Esto es, una integral triple extiende el concepto de una integral al caso en que f es una función de tres variables independientes cuyo dominio es una región cerrada acotada en el espacio de 3 dimensiones. Supongamos que: Es una función de tres variables independientes cuyo dominio es una región cerrada acotada r3. Sea 3 una red de r3, sea: Si existe un número i con la propiedad de qué dado un número >0 existe un número >0 tal que: Para todas las redes 3y aumentos 3 con forma 3< , entonces este único número es la triple integral (riemann) de f sobre la región r3, y la representamos La existencia de una integral triple sobre una región r3 depende no sólo de la naturaleza de f sino también de la naturaleza de r3. Teorema. Si f es continua sobre una región cerrada acotada r3 cuya frontera consiste de la unión de un número finito de superficies uniformes entonces6

• APLICACIONES A ÁREAS Y SOLUCIÓN

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