Funciones Lineales

Función

Definición:

Sean A y B conjuntos no vacíos. Una función de A en B es una relación que asigna a cada elemento x del conjunto A uno y solo un elemento y del conjunto B.

Se expresa como: f: A B

x f(x) = y

Función

Conceptos:

Dominio: es el conjunto de todos los valores para los cuales está definida la función y se denota Dom f.

Recorrido: es el conjunto de todos los valores que toma la variable independiente (Y), y se denota Rec f.

Función Creciente: es aquella que al aumentar la variable independiente, también aumenta la variable dependiente.

Función Decreciente: es aquella que al aumentar la variable independiente, la variable dependiente disminuye.

Función Constante: es aquella que para todos los valores de la variable independiente, la variable dependiente toma un único valor

Función

Función Continua:

Es aquella en la que su gráfica se puede recorrer en forma ininterrumpida en toda su extensión.

Función

Función Discontinua:

Es aquella que no es continua, es decir, presenta separaciones y/o saltos en su gráfica.

Función

Función Periódica:

Es aquella en la que su gráfica se repite cada cierto intervalo, llamado período.

Función

Conceptos Fundamentales:

Si tenemos una relación f entre dos conjuntos A y B, f se dirá función si a cada valor del conjunto de partida A le corresponde uno y sólo un valor en el conjunto de llegada B.

Función

Conceptos Fundamentales:

La variable x corresponde a la variable independiente y la variable cuyo valor viene determinado por el que toma x, se llama variable independiente. Se designa generalmente por y o f(x) [se lee “f de x”]. Decir que “y” es función de “x” equivale a decir que “y” depende de “x”.

Función

Conceptos Fundamentales

Se dirá:

f : A B

b € B es la imagen de a € A bajo la función f y se denota por b= f(a)

Dom f =A

Si (x, y) € f ^ (x, z) € f y = z (Unívoca)

Función

Rango o Recorrido de f:

Es aquel subconjunto del codominio en el cual todos sus elementos son imagen de alguna preimagen del dominio o conjunto de partida. Se denota por Rec f.

Luego para la función f denotada:

Dominio de f = Dom f = A = {a, b, c, d, e}

Codominio = B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Rango o Recorrido de f = Rec f = {1, 2, 3, 4, 7}

Clasificación

a) Función Inyectiva: Una inyección de A en B es toda f de A en B, de modo que a elementos distintos del dominio A le corresponden imágenes distintas en el codominio B.

Cada elemento de A tiene una única imagen en B (y sólo una), de tal forma que se verifica que # A ≤ # B.

b) Función Epiyectiva o Sobreyectiva: Una epiyección o sobreyección de A en B, de modo que todo elemento del codominio B es imagen de, al meno, un elemento del dominio A. Cada elemento de B es imagen de por lo menos un elemento de A. Se verifica que # A ≥ # B. Es decir, que en este caso el codominio es igual al recorrido.

c) Función Biyectiva: una función f es biyectiva de A en B si y sólo si la función f es tanto Inyectiva como Epiyectiva a la vez, por lo que se verifica que #A = #B y que a cada elemento de A le corresponde una única imagen en B y que cada imagen de B le corresponde una preimagen en A.

Función

Función

Función

I. Función Lineal

Es de la forma f(x) = mx + n

con m : Pendiente

n : Ordenada del punto de intersección entre la recta y el eje Y (coeficiente de posición).

Ejemplo:

La función f(x) = 5x – 3, tiene pendiente 5 e intersecta al eje Y en la ordenada -3.

I. Función Lineal

Análisis de la Pendiente

Para saber con qué tipo de función se está trabajando, se debe analizar el signo de la pendiente.

Si m < 0, entonces la función es decreciente.

Si m = 0, entonces la función es constante.

Si m > 0, entonces la función es creciente.

I. Función Lineal

I)

I. Función Lineal

Tipos de funciones especiales:

a) La función de forma f(x) = x, se reconoce como función identidad y su gráfica es:

I. Función Lineal

Tipos de funciones especiales:

b) La función de la forma f(x) = c, con c: Constante Real, se conoce como función constante y su gráfica es:

I. Función lineal

Propiedades:

El dominio de la función lineal son todos los números IR.

Las rectas que tienen la misma m serán paralelas.

Las rectas que al multiplicar sus pendientes el producto es -1 serán perpendiculares.

I. Función Lineal

Evaluación de una función lineal:

Dada la función f(x) = mx + n, si se busca el valor de la función para un valor cualquiera de x, basta reemplazar dicho valor, así como también si se busca el valor de x conociendo el valor de la función.

Ejemplo

La función que representa el valor a pagar en un taxi, después de recorridos 200m es:

f(x) = 0.8x + 250 con x: cantidad de metros recorridos

f(x): costo en pesos

3 km = 3000 m

Entonces, el valor a pagar por un recorrido de 3 kilómetros es:

f(3000) = 0.8 · 3000 + 250 = 2650

Por 3 kilómetros se pagan $2650.

I. Función Lineal

Si queremos saber cuántos metros recorrió una persona si pagó $2.250, se debe resolver la siguiente ecuación:

2250 = 0.8x + 250 / -250

2000 = 0.8x / :0.8

2500 = x

Una persona que paga $2250. recorrió 2500 metros o 2.5 kilómetros.

I. Función Lineal

Construcción de una Función Lineal conocidos valores de ella:

Para construir una función lineal se deben conocer dos relaciones distintas entre el valor de la variable y el valor de la función, es decir:

(x , f(x )) y (x , f(x ))

O bien si a f(x) le llamamos y, entonces los pares quedan:

(x , y ) y (x , y )

Donde la función buscada será:

I. Función Lineal

Ejemplo

Si se sabe que el agua se congela a 32º F ó 0º C y hierve a 212º F ó 100º C, ¿cómo se puede expresar los ºF como función lineal de los ºC?

Solución:

Se tiene la siguiente información:

y

Cº : variable independiente (x)

ºF : variable dependiente (y)

I. Función Lineal

Reemplazando en:

Se tiene:

Donde la función que representa los ºF respecto de ºC es.

I. Función Lineal

Se le llama crecimiento aritmético a la progresión cuyos términos aumentan en una misma cantidad constante llamada diferencia. Este crecimiento aritmético gráficamente está representado por una recta con

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