La Derivada como Razón de cambio

REPASO UNIDAD II

Contenidos

La Derivada como Razón de cambio

Máximos y Mínimos

Problemas de Optimización

Ejercicio N°1:

De acuerdo a estimaciones que ha realizado la Organización de las Naciones Unidas (ONU) se puede estimar la población humana mundial en millones de habitantes con la función P(t)=836,87e^0,0098t , donde t son los años transcurridos a partir de 1.800.

¿Cuál es la población estimada para inicios del año 2014?

Determine e Interprete dP/dt a inicios del año 2015

Ejercicio N°2:

En una página web se publica la oferta de un nuevo producto. La cantidad de personas que ingresa a la página a ver esta oferta, varía según la función f(x)=x^3-18x^2+81x+50 donde f es el número de personas conectadas después de x horas que el aviso es publicado. Si la promoción se mantiene en línea por sólo 10 horas, responda:

Escriba dominio empírico de la función

Determine intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función, considerando dominio empírico.

¿Después de cuántas horas, la cantidad de personas conectadas a la página es máxima? ¿Y la mínima? (indique cantidad de personas)

Ejercicio N°3:

Un proyectil es disparado directamente hacia arriba desde el suelo. Después de trascurridos t segundos, su distancia en metros por encima del suelo está dada por la función D(t)=216t-18t^2.

Determine e interprete D`(4)

Determine e interprete D``(4)

Ejercicio N°4:

Una empresa importadora de telas estima que sus costos C(x) e ingresos I(x) ambos en miles de euros, por producir y comercializar x toneladas de tela a través de la zona franca de Iquique, se puede estimar con las siguientes funciones:

I(x)=0,001x^3+x^2 y C(x)=100x-0,09x^2

Determine IM(x) y CM(x)

Determine e Interprete IM(200) y CM(200) ?

Ejercicio N°5:

Se desea construir un recipiente cilíndrico de conservas con tapa, que tenga una superficie total de 471 cm2. Determine sus dimensiones de modo que tenga el mayor volumen posible

Área superficial

471=6,28∙r2+6,28∙r∙h

Con lo cual

471-6,28∙r26,28∙r=h

Volumen V=3,14∙r2∙471-6,28∙r26,28∙r

Ejercicio N°6:

Un estudio arrojó que el rendimiento de un alumno (en %) antes de realizar un examen que estudia desde una hora hasta 8 horas como máximo se comporta de acuerdo a la función , donde es la cantidad de horas que estudia durante 7 días antes de la evaluación. ¿Cuántas horas le conviene estudiar por día para obtener el mayor rendimiento? ¿y el menor rendimiento?

Ejercicio N°7:

El ingreso y costo en miles de dólares de la producción de x unidades diarias de un producto está dado por las funciones y C(x)=-2x+1/100 x^2+250.

Determine I´(x) y C´(x)

Calcular e interpretar I´(150) y C´(150)

Ejercicio N°8:

Un grupo de estudiantes participa de una cicletada que inicia en el centro de Santiago hacia el sur del país. La función entrega la posición de un ciclista (en kilómetros) después de t minutos de su partida. Interprete y calcule S´(30) y S´´(30)

Ejercicio N°9:

Una caja con base cuadrada y parte superior abierta debe tener un volumen de 500.000 cm3. Encuentre las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material usado.

Volumen de la caja

Para minimizar el material:

Área superficial

.

Ejercicio N°10

Un estudio determinó que la cantidad de habitantes (en millones) de una isla se puede calcular con la función H(t)=(4t+288)/(t+24), donde t son los años transcurridos a partir del año 2000. Determine la razón de cambio de la población con respecto a tiempo cuando transcurren 2 años.

Ejercicio N°11

Se determinó que la función f(t)=160+30t es el mejor modelo matemático que estima los ingresos en millones de euros por las ventas anuales de la empresa, donde representa el tiempo medido en años a partir del año 1995. Interprete y calcule f´(10)

Ejercicio N°12

Supongamos que el rendimiento (medido en %) de un alumno que realiza un examen de matemática, cuya duración es de 1 hora 30 minutos viene dado por la función

f(x)=192x-96x^2, donde x es el tiempo en horas.

Determine e interprete intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función

¿En qué momento se obtiene el máximo rendimiento del alumno? (indique valor)

Ejercicio N°13

Determina la derivada de las siguientes funciones

f(x)=e^(x^2+7)+13x^3

SOLUCIONES GUÍA RESUMEN UNIDAD II

Ejercicio N°1:

a) 2014-1800=214

P(214)=836,87e^(0,0098∙214)=6.814,914116

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