Uno de los conceptos de matemáticas que más aplicas en tu vida es el concepto

Sección 1.0  

1.   Conjuntos.

Uno de los conceptos de matemáticas que más aplicas en tu vida es el concepto Conjunto, aunque quizás estés más familiarizado con él llamándolo “grupo”.

De hecho, es uno de los primeros conceptos de matemáticas que aprendiste y aplicaste de manera natural, incluso antes de aprender a hablar; quizás lo recuerdes (o lo has observado): los bebés identifican claramente a los integrantes de su familia o conjunto familiar, y luego, aún de pequeños saben distinguir claramente su conjunto de juguetes. Con el paso del tiempo lo sigues aplicando, así, hablas de tu grupo de amigos o conjunto de amigos, del grupo musical o conjunto musical, del conjunto de discos que tienes, del conjunto de “cosas” que debes comprar para la reunión, del conjunto de ingredientes para una receta de cocina, del conjunto de calificaciones que obtienes en la escuela, y de otros muchos conjuntos más.

La teoría de conjuntos es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema lo realizó el matemático alemán Georg Cantor en el Siglo XIX.

El concepto conjunto es intuitivo y se le puede definir como una colección de objetos.

La definición de Georg Cantor es la siguiente:

Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos

 bien diferenciados de nuestra intuición o nuestra mente.

En la escuela te habrás dado cuenta que las agrupaciones se utilizan en las diferentes áreas del conocimiento: en Biología para clasificar a los seres vivos, en Química para clasificar la materia, en Español clasificabas las diferentes clases de oraciones, por mencionar algunos casos. ¿Podrías mencionar alguna área del conocimiento en dónde no se usen los conjuntos?

Tal vez recuerdes que cuando estabas en el kinder te ponían a clasificar objetos y debías agruparlos de acuerdo a sus características. Más tarde, en la Primaria y luego en la Secundaria, los usaste clasificando figuras o cuerpos geométricos; y por lo regular debías contestar una serie de preguntas relacionadas con tus agrupaciones.

De manera similar, ¿podrías contestar lo siguiente?

1.  De 33 alumnos de un salón, a 18 les gusta el fútbol, a 17 el voleibol y a 4 no les gusta el deporte. ¿Cuál es el número de alumnos que les gusta el fútbol y el voleibol?

2. En la UANL, de un grupo de 180 profesores, 135 tienen doctorado y 146 son investigadores; de los doctores, 114 son investigadores. Encuentra el número de profesores que no tienen doctorado y no se dedican a la investigación.

3.  Un conjunto tiene 20 objetos, hay rojos, amarillos, verdes y azules. 5 son rojos, 17 no son verdes y 12 no son amarillos. Determina el número de objetos de cada color.

Conceptos Básicos sobre Conjuntos

Elemento

Los objetos que forman al conjunto se les llaman miembros o elementos del conjunto.

Un conjunto tiene que estar bien definido y debe saberse exactamente si un determinado elemento pertenece o no al conjunto. Por ejemplo, si alguien dice: pásame el conjunto de los bolígrafos azules, el conjunto está bien definido, porque sólo se habla de los bolígrafos azules y todos pueden saber si es azul o no; en cambio si se dice: pásame el conjunto de los bolígrafos de color, no está bien definido, porque no sabemos a qué color se hace referencia.

¿Cómo representar a los conjuntos?

Para representar al conjunto por lo regular se utilizan letras mayúsculas y llaves, las letras sirven para nombrar al conjunto y las llaves para contener su descripción. Las letras minúsculas se utilizan para representar a los elementos del conjunto.

Por ejemplo, si el conjunto A está formado por los elementos a, b, c, se representa de la siguiente forma:

A =  {a, b, c}

O bien, se escriben los nombres de los elementos del conjunto.  Por ejemplo, si el conjunto de Amigos es Alma, Juan y Ale, para representarlo se escribe así:

A =  {Alma, Juan, Ale}

Relación de pertenencia

Para indicar que un elemento “x” pertenece a un conjunto “A” se representa de la siguiente forma:

x∈A

se lee: “x  pertenece a A”  o  “x es elemento de A”

Para indicar que un elemento no está en el conjunto se escribe:

x∉A

se lee: “x no es elemento de A”

Denotación de un conjunto

Los conjuntos se pueden denotar por enumeración o por comprensión.

Cuando el conjunto está formado por pocos elementos, generalmente se enumeran dentro de las llaves; en este caso se dice que el conjunto está definido por enumeración o extensión.

          Si A es el conjunto formado por las vocales se denota de la siguiente forma:

                                      A =  {a, e, i, o, u}

Si los elementos se pueden expresar mediante una o más propiedades que los caractericen, entonces se describen dentro de las llaves; en este caso se dice que el conjunto está definido por comprensión.

          Si A es el conjunto formado por las vocales se denota de la siguiente forma:

                                      A =  {x/x es una vocal}

Si todos los elementos “x” de un conjunto “A” satisfacen alguna propiedad que puede ser expresada como una proposición, entonces se utiliza esa proposición para describir a los elementos del conjunto; por ejemplo, si la propiedad de x es pertenecer a los números reales, entonces se escribiría:

A = {x / x ∈ Reales}

Lo anterior se lee “el conjunto A formado por todas las x tal que x pertenece a los números Reales”:

  A  =  {x  /  x ∈ Reales}[pic 1][pic 2]

[pic 3][pic 4][pic 5]

El conjunto A

     formado

                                                    por todas las “x”               x pertenece a los Reales

tal que

Conjuntos Iguales:

Se dice que dos conjuntos son iguales cuando contienen exactamente los mismos elementos, y se escribe A = B. En caso contrario, se dice que no son iguales, y se escribe A ≠ B.

Cardinal de un conjunto

Es un número que nos indica el número de elementos que componen a un conjunto.

Por ejemplo,

        el cardinal del conjunto A =  {a, e, i, o, u} es 5, pues contiene cinco elementos;

        se escribe card(A) = 5.

Conjunto Finito

Si el número de elementos del conjunto es un entero positivo se dice que el conjunto es finito.

Conjunto Vacío

Cuando el conjunto no tiene elementos se dice que es conjunto vacío; se representa con el símbolo φ  o con llaves: { }.

Conjunto Universo

El conjunto que contiene a todos los elementos considerados es llamado universo, se denota como U.

Subconjunto

Si los elementos de un conjunto A están en un conjunto B, se dice que el conjunto A es subconjunto del conjunto B; se escribe de la siguiente forma: A⊂B. Por el contrario, si A no es subconjunto de B, se escribe A ⊄ B, indicaría que al menos un elemento de A no está en B.

Por ejemplo,

Si A = {a, e} y B = {a, e, i, o, u}, entonces A es subconjunto de B porque los elementos “a, e” están en el conjunto B; se escribe: A ⊂ B.

Si A = {a, e, c} y B = {a, e, i, o, u}, entonces A no es subconjunto de B, porque el elemento “c” no está en B; se escribe: A ⊄ B.

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