APLICACIONES DE LA INTEGRACION MATEMATICA

APLICACIONES DE LA INTEGRACION MATEMATICA[pic 1]

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1.- AREAS DE REGIONES PLANAS. LA INTEGRAL DEFINIDA

Integral definida. Sea f: [a; b] → R una funcion continua y positiva. Nos planteamos el problema de hallar el area de la region A comprendida entre el intervalo [a; b] del eje OX y la curva y = f(x).

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El proceso de construccion es el siguiente: Se toman n + 1 puntos a = x0 < x1 < · · · < xn = b , que dividen el intervalo [a; b] en n subintervalos iguales de tamaño xk − xk−1 = (b − a)=n. En cada uno de dichos subintervalos se toma un punto cualquiera, digamos tk ∈ [xk−1; xk] para cada k = 1; 2 ,…. n, y se forma la suma de Riemann Sn(f), que es la suma de las areas de n rectangulos

adyacentes que aproximan la region A:

                                            [pic 6]

Se prueba entonces que si n → ∞, de manera que el tamaño de los subintervalos tiende a cero, las sumas de Riemann tienden a un numero que coincide con el area de A. Este limite de las sumas de Riemann se llama integral de f en [a; b] y se representa por    f(x) dx, o sea,[pic 7]

                                [pic 8]

[pic 9][pic 10]

Este proceso se puede aplicar a funciones continuas que cambian de signo pero, en este caso, lo que resulta es la diferencia entre el area de la porcion de la figura que esta por encima del eje OX y el area de la porcion que esta por debajo (azul y amarilla, respectivamente, en la figura).

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Son muy pocas las integrales que se pueden calcular aplicando paso a paso el proceso que acabamos de describir. La aportacion esencial de Newton y Leibniz fue probar que, con caracter general, la integracion es la operacion inversa a la derivacion, lo que se concreta en el teorema fundamental del calculo y la regla de Barrow, que es el metodo practico de calcular integrales.

Teorema del valor medio para integrales. Sea f: [a; b] → R una funcion continua. Entonces existe un punto c ∈ [a; b] tal que

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En terminos geometricos, si f es positiva, entonces c es un punto que cumple que el area del rectangulo de base el intervalo y altura f(c) es igual al area que encerrada por la curva.[pic 13]

Teorema fundamental del calculo. Sea f: [a; b] → R una funcion continua y sea F: [a; b] → R la funcion definida por

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Entonces F es derivable en [a; b] y F′(x) = f(x) para cada x ∈ [a; b]; es decir, F es una primitiva de f en el intervalo [a; b].

Regla de Barrow. Sea f: [a; b] → R una funcion continua y sea F: [a; b] → R una primitiva de f en [a; b] (o sea, F es tal que F′(x) = f(x) para todo x ∈ [a; b]). Entonces

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Una vez calculada la primitiva F(x), la expresion F(b) − F(a) se suele representar [pic 16]

como de manera que se suele escribir

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Area encerrada por una curva dada en coordenadas polares. Sea r = r(ɵ), con a ≤ ɵ ≤ b, la ecuacion de una curva en coordenadas polares y sea R la region limitada por la curva y las semirrectas de ecuaciones ɵ = a  y  ɵ = b.

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Si r(ɵ) es continua en [a; b], entonces el area de la region R limitada por la curva y las semirrectas de ecuaciones ɵ = a y ɵ = b viene dada por la formula

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Esta formula se deduce aproximando el area mediante sectores circulares, como se ve en la siguiente figura, lo que resulta ser una suma de Riemann de la función /2   en [a; b].[pic 21]

        [pic 22][pic 23]

Area encerrada por una curva plana dada en coordenadas parametricas. En ocasiones no tenemos la curva dada en la forma y = f(x), sino que la tenemos dada en coordenadas paramétricas  (x(t); y(t)) para t ∈ [α; β]. Si la curva esta por encima del eje OX, es decir y(t) ≥ 0, entonces

podemos hallar el area de la region A comprendida entre la curva y el intervalo [a; b] del eje OX en el que se proyecta la curva haciendo el cambio de variables dado por la parametrización  y = f(x(t)) = y(t), con lo que dx = x′(t) dt y nos queda  

                        [pic 24]

Es importante hacer notar que esta formula no es valida para curvas parametrizadas cualesquiera; puede usarse solo cuando a cada valor de x le corresponde un unico punto (x; y) en la curva; esto ocurre, por ejemplo, cuando x(t) es estrictamente creciente, es decir, x′(t) > 0 en (α; β); y tambien

cuando es estrictamente decreciente, es decir, x′(t) < 0 en (α; β ) (precisamente, el valor absoluto de x′ aparece en la formula para agrupar ambos casos).

2. VOLUMENES DE SOLIDOS

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