Actividad Trabajo colaborativo Método Gauss

[pic 2]

MENSAJES OCULTOS

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO GRANCOLOMBIANO INGENIERIA INDUSTRIAL

ALGEBRA LINEAL BOGOTA - COLOMBIA 2019

Tabla de Contenidos

Objetivo

Es encriptar y desencriptar punto 1 y 2 propuesto por el profesor mediante el sistema HILL para este objetivo debemos realizar operaciones con el método GAUSS para resolver matrices.

Descripción

Una de las aplicaciones del Álgebra Lineal es la criptografía, parte de la Criptología (estudio de lo oculto), que trata del diseño e implementación de sistemas secretos para cifrar mensajes. Existen diversas técnicas para cifrar y descifrar mensajes cuya complejidad depende de las herramientas matemáticas que se empleen en el diseño de los algoritmos de cifrado. Un sistema clásico es el Sistema de Hill o Cifrado en Bloques que fue diseñado por el matemático Lister Hill en 1929 basado en ideas de algebra lineal, en particular, en el álgebra de matrices.

Actividad 1. Consultar el sistema de Hill para encriptar y desencriptar mensajes. Luego, describa el proceso (paso a paso) para cifrar la palabra DEDICACION

Matriz clave

1        −4

y la asignación numérica que aparece en el siguiente cuadro. En el

(        )

0        1

símbolo “- “representa el espacio entre palabras

[pic 3]

Actividad 1

Para cifrar la palabra DEDICACION se analizó el modulo a trabajar la información investigada, en el sistema HILL se trabaja modulo 26 como un sistema cifrado poli alfabético esto quiere decir que a cada letra del alfabeto se le asigna un número. pero en el caso asignado al grupo 26 de algebra lineal la asignación numérica dada a la actividad de trabajo colaborativo, al analizar nuestra asignación numérica notamos que no es modulo 26 si bien tiene 26 letras cada una con una asignación numérica también encontramos el signo ´´- ´´ y el signo ¨. ¨ los que también tienen una asignación numérica que corresponde a 27 y 28 respectivamente nosotros hablamos de modulo por que en este caso el numero 0 sería el 29.

Al tener ya definido nuestro modulo procedemos a separar las palabras en silabas es decir DE,

DI, CA, CI, ON y así multiplicamos cada pareja por Nuestra matriz clave

1        −4

de la

(        )

0        1

siguiente manera:

𝐷        3

(𝐸) = ( )

4

𝐷        3

( 𝐼 ) = ( )[pic 4]

𝐶        2

(  ) = ( )

𝐴        0

𝐶        2

(  ) = ( )

𝐼        8

(𝑂

𝑁

15

) = (        ) 13

Se realiza la transcripción numérica teniendo en cuenta la tabla de su sustitución anterior

´´3.4.3.8.2.0.2.8.15.13´´. como la transcripción lineal es del orden 2 se agrupan los números en ternas de dos sobre las que aplicamos transformación lineal (3,4), (3,8), (2,0), (2,8), (15,13).

Se multiplica la matriz clave con la terna calculada se tiene en cuenta que en la transformación lineal se trabaja con los numero enteros modulo 29

1        −4        3

(1 × 3 +)        (−4 + 4)

−13

(0        1 ) × ( ) = ((0 × 3) +        (1 × 4) ) = ( 4 )[pic 5]

Convirtiéndolo a modulo 29 es (16)

4

1        −4        3

(1 × 3 +)        (4 + 8)

−29

(        ) × (

) = (

) = (        )

0        1        8        (0 × 3) +        (1 × 8)        8

Convirtiéndolo a modulo 29 es 0

( )

8

1        −4        2

(1 × 2 +)        (4 + 0)        2

(        ) × (

) = (

) = ( )

0        1        0        (0 × 2) +        (1 × 0)        0

1        −4        2

(1 × 3 +)        (4 + 8)

−30

(        ) × (

) = (

) = (        )

0        1        8        (0 × 3) +        (1 × 8)        8

Convirtiéndolo a modulo 29 es (28)

8

1        −4        15

(1 × 15) +        (−4 × 13)

−37

(        ) × (

0        1        13

) = ((0 × 15) +        (1 × 13) ) = ( 13 )

Convirtiéndolo a modulo 29 es (21)

13

Las matrices renglón corresponderían a las siguientes letras de acuerdo con nuestra asignación numérica modulo 29

16        𝑃

( 4 ) = (𝐸)

0        𝐴

( ) = ( 𝐼 )[pic 6]

2        𝐶

(  ) = ( )

0        𝐴

28        .

( 8 ) = (𝐼)

21) = (𝑈)[pic 7]

13        𝑁

Tomamos los resultados de la transformación lineal de cada terna así da un mensaje numérico cifrado ¨ 16,4,0,8,2,0,28,8,21,13´´, y así el mensaje cifrado es ´´PEAICA.IN´´

Actividad 2

Se intercepta el mensaje HTQÑULUYXHBZPHXOTJHTQBADWIGPZH

Solo se logró obtener la matriz clave

[pic 8]

Calculamos la inversa de A como:

𝐴‐ 1 ∶

1

𝐴 − 1 = 𝐷𝐸𝑇(𝐴) × 𝐴𝑑𝑗(𝑎)[pic 9]

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑡𝑟𝑒𝑚𝑖𝑛𝑎𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐴 ∶

...