Algebra Analisis Cobiatorio

PROBLEMARIO DE ALGEBRA SUPERIOR

TEMA: ANÁLISIS COMBINATORIO

1. Evalúe 20P2, 8P5, 7P5, 7P7.

SOLUCIÓN

2. Encuentre n si a) 7 • nP3 = 6 • n+1P3, b) 3 • nP4 = n−1P5.

SOLUCIÓN

a) 7n(n − 1)(n − 2) = 6(n + 1)(n)(n − 1).

Puesto que n ≠ 0, 1 se puede dividir entre n(n − 1) a fin de obtener 7(n − 2) = 6(n + 1), n = 20.

b) 3n(n − 1)(n − 2)(n − 3) = (n − 1)(n − 2)(n − 3)(n − 4)(n − 5).

Puesto que n ≠ 1, 2, 3 se puede dividir entre (n − 1)(n − 2)(n − 3) a fin de obtener

3n = (n − 4)(n − 5), n2 − 12n + 20 = 0, (n − 10)(n − 2) = 0.

Por lo tanto n = 10.

3. Un estudiante tiene que elegir un idioma y una asignatura entre 5 idiomas y 4 asignaturas. Encuentre el número de formas distintas como puede hacerlo.

SOLUCIÓN

Puede elegir un idioma de 5 maneras y, por cada una de ellas, hay 4 formas de elegir la asignatura. Por lo tanto, puede hacerlo de 5 • 4 = 20 maneras.

4. De cuántas formas se pueden repartir dos premios entre 10 personas sabiendo que ambos premios, a) no se pueden conceder a una misma persona, b) se pueden conceder a la misma persona?

SOLUCIÓN

a) El primer premio se puede repartir de 10 formas diferentes y, una vez concedido, el segundo se puede repartir de 9 formas, ya que ambos no se pueden conceder a la misma persona.

Por lo tanto, se puede hacer de 10 • 9 = 90 formas distintas.

b) El primer premio se puede repartir de 10 formas diferentes y el segundo de otras 10, ya que ambos se pueden conceder a la misma persona.

Por lo tanto, se puede hacer de 10 • 10 = 100 formas distintas.

5. ¿De cuántas maneras se pueden introducir 5 cartas en 3 buzones?

SOLUCIÓN

Cada una de las 5 cartas se puede introducir en cualquiera de los tres buzones.

En consecuencia, se pueden introducir de 3 • 3 • 3 • 3 • 3 = 35 = 243 maneras.

6. Hay 4 candidatos para presidente de un club, 6 para vicepresidente y 2 para secretario. ¿De cuántas maneras se pueden ocupar estos tres puestos?

SOLUCIÓN

Un presidente se puede elegir de 4, un vicepresidente de 6 y un secretario de 2 formas distintas. De aquí que se podrán ocupar de 4 • 6 • 2 = 48 formas distintas.

7. ¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar 5 personas en una fila?

SOLUCIÓN

La primera persona puede ocupar uno de los 5 puestos y, una vez que se ha situado en uno de ellos, la segunda puede ocupar uno de los 4 restantes, etc. Por lo tanto, se podrán colocar de 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120 maneras distintas.

8. ¿De cuántas maneras se pueden colocar 7 libros sobre una estantería?

SOLUCIÓN

9. Encuentre el número de formas como se pueden colocar en fila 4 cuadros de una colección que se compone de 12 pinturas.

SOLUCIÓN

El primer lugar lo puede ocupar uno cualquiera de los 12 cuadros, el segundo uno cualquiera de los 11, el tercero uno cualquiera de los 10 y el cuarto uno cualquiera de los 9 restantes.

Por lo tanto, el número de formas es 12 •11 • 10 • 9 = 11 880.

10. ¿De cuántas maneras se pueden colocar en una fila 5 hombres y 4 mujeres de forma que éstas ocupen los lugares pares?

SOLUCIÓN

Los hombres se pueden situar de 5P5 maneras y las mujeres de 4P4. Cada una de las colocaciones de los hombres se puede asociar con una de las mujeres.

De aquí que se podrá efectuar de = 5P5 • 4P4 = 5! 4! = 120 • 24 = 2 880 maneras.

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