Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales
Enviado por Sandra Gómez Tovar • 7 de Septiembre de 2021 • Documentos de Investigación • 1.679 Palabras (7 Páginas) • 487 Visitas
ACTIVIDAD EVALUATIVA EJE 2
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales
LEIDY PUENTES CONTRERAS GRUPO 061
MARIA NATALIA NIÑO HERNANDEZ 061
SANDRA CECILIA GÓMEZ TOVAR GRUPO 063
LENIX MICHELL CIFUENTES GUTIERREZ GRUPO 061
PRESENTADO A
SILVIA REBECA VEGA RIAÑO
MATERIA
ECUACIONES DIFERENCIALES
Fundación Universitaria del Área Andina
Facultad de Ingenierías y Ciencias Básicas
Ingeniería de sistemas - Virtual
Bogotá, Colombia
2021
INTRODUCCIÓN
En este eje se plantean algunos ejercicios en el cual se realiza la aplicación de las ecuaciones diferenciales exactas y lineales de primer orden en las siguientes disciplinas como lo son Leyes de movimiento de Newton, problemas combinados de crecimiento y decrecimiento y los circuitos eléctricos.
Marco Teórico
Circuitos eléctricos:
Es perteneciente a la electricidad por la propiedad física manifestada por atracción y repulsión entre las partes de la materia o forma de energía basada en dicha propiedad, por una interconexión de dos o más componentes que contiene una trayectoria cerrada.
La corriente eléctrica es un movimiento de electrones, por los elementos que componen.
(http://www.quimicaweb.net/grupo_trabajo_fyq3/tema8/index8.htm)
[pic 1]
(tododenergia.blogspot.com, 2020 la energía)
Ecuaciones diferenciales:
La (ED) es una ecuación que relaciona de manera no trivial a una función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con respecto a una o más variables independientes. Si la función desconocida depende de una sola variable la ecuación diferencial se llama ordinaria , por el contrario, si depende de más de una variable, se llama parcial
EcuacionesDiferencialesOrdinarias.pdf
Ejemplo:
A continuación, presentaremos un ejemplo como se aplicará ecuación diferencia en
un circuito eléctrico simple.
[pic 2]
La resistencia es de 12 Ω y la inductancia es de 4 H. Si una batería proporciona un voltaje constante de 60 V y el interruptor está cerrado cuando t = 0, de modo que la corriente comience con I(0) = 0, determine
- 1. I(t)
- 2. La corriente después de 1 segundo
- 3. El valor límite de la corriente
Solución:
, en la ecuación obtenemos el problema con valor inicial.[pic 3]
4 [pic 4][pic 5][pic 6]
o equivalentemente
[pic 7][pic 8][pic 9]
Al multiplicar por el factor obtenemos.[pic 10]
[pic 11]
=15[pic 12][pic 13][pic 14]
[pic 15][pic 16]
[pic 17]
[pic 18]
Puesto que tenemos que 5+c = 0, así que [pic 19][pic 20]
[pic 21]
(b) Después de 1 segundo, la corriente es igual a
[pic 22]
(c) Tenemos que
[pic 23]
[pic 24]
[pic 25]
[pic 26]
Concluimos que:
Se evidencia dentro de la aplicación de la situación como las
ecuaciones hacen más sencilla la solución de estos casos, teniendo en cuenta los
factores que pueden variar y obteniendo así una solución precisa a
las diferentes interrogantes que puedan surgir, tales como la ecuación que nos lleva
a la carga del inductor cuando el interruptor se cierra.
SITUACIÓN 1 : LEYES DE MOVIMIENTO DE NEWTON
Una gota de lluvia esférica partiendo de reposo, cae por influjo de la gravedad. Si recoge vapor de agua (supuesto en reposo ) a un ritmo proporcional a su superficie, y su radio inicial era 0, probar que cae con aceleración constante [pic 27]
La ley newton en su forma general dice que
= F [pic 28]
Siendo v la velocidad del cuerpo móvil respecto a un sistema inercial , su masa y F la fuerza exterior que actúa sobre dicho cuerpo [pic 29]
SOLUCIÓN
Si recoge vapor a un ritmo proporcional a la superficie de la gota , se tiene que
= π siendo de la gota , cte.[pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34]
Como la masa de la gota esférica es volumen por densidad
π[pic 35][pic 36][pic 37]
y, derivando respecto a t
= [pic 38][pic 39][pic 40][pic 41]
Igualando ambas expresiones
= [pic 42][pic 43][pic 44][pic 45]
y simplificando
= = (constante)[pic 46][pic 47][pic 48]
Se deduce por integración que = Eligiendo t = 0 como instante inicial, y siendo se sigue que = 0 Así [pic 49][pic 50][pic 51][pic 52]
[pic 53]
La ecuación del movimiento es [pic 54]
[pic 55][pic 56]
luego + = [pic 57][pic 58][pic 59]
Pero de se tiene[pic 60]
= [pic 61][pic 62]
sustituyendo en la ecuación anterior , y dividiendo anterior, y dividiendo por , queda [pic 63]
+ [pic 64][pic 65][pic 66]
o sea , la ecuación diferencial lineal
+ [pic 67][pic 68][pic 69]
Integrando teniendo en cuenta que [pic 70]
+ [pic 71][pic 72][pic 73][pic 74]
Y como la gota parte del reposo , es decir cuando se sigue que [pic 75][pic 76]
Despejando se obtiene finalmente [pic 77]
[pic 78][pic 79]
por lo que la aceleración de la gota es
= [pic 80][pic 81]
[pic 82]
SITUACIÓN 2: PROBLEMAS COMBINADOS DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO.
-Problema: Un cultivo tiene una cantidad inicial N de bacterias. Cuanto t=1h, la cantidad de bacterias es 3/2 N₀. Si la razón de producción es proporcional a la cantidad de bacterias presentes, calcule el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial de bacterias.
Modelo matemático:
=KN[pic 83]
Condicionales: iniciales:
...